考点测试24 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试24　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 高考 概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度 考点 研读 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题 一、基础小题 1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 答案　C 解析　∵T＝＝π，∴ω＝2，于是f(x)＝sin，∵f＝sin＝1≠0，故A错误，C正确；f＝sin≠0，故B错误；f＝sin＝0≠±1，故D错误．故选C. 2．函数y＝cos＋sin具有的性质是(　　) A．最大值为，图象关于直线x＝对称 B．最大值为1，图象关于直线x＝对称 C．最大值为，图象关于点对称 D．最大值为1，图象关于点对称 答案　C 解析　因为y＝cos＋sin＝－sinx＋cosx－sinx＝sin，所以函数的最大值为.令－x＝kπ(k∈Z)，求得x＝－kπ(k∈Z)，所以函数图象关于点对称．故选C. 3.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　A 解析　∵－＝，∴T＝π＝，又ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，∵f＝0，∴Asin＝0，∵0<φ<，解得φ＝，∴f(x)＝Asin，又f(0)＝，∴Asin＝，∴A＝2，∴f(x)＝2sin，g(x)＝sin2x－cos2x＝2sin，又f(x)＝2sin＝2sin，∴将g(x)的图象向左平移个单位长度可得到f(x)的图象．故选A. 4．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若f＝0，且f(x)在上有最大值，没有最小值，则ω的值可以是(　　) A．17 B．14 C．5 D．2 答案　A 解析　由f＝0，且f(x)在上有最大值，没有最小值，可得＋＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝6k－1(k∈Z)．由f(x)在上有最大值，没有最小值，可得×<－≤×，解得6<ω≤18，又ω＝6k－1(k∈Z)，当k＝3时，ω＝17.故选A. 5．已知函数f(x)＝4sin－2(ω>0)在[0，π]内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由f(x)＝0得sin＝，而当x∈[0，π]，ω>0时，－≤2ωx－≤2πω－，又sin＝sin＝sin＝，函数f(x)在[0，π]内有且仅有两个零点，于是得≤2πω－<，解得≤ω<，所以ω的取值范围是.故选D. 6．(多选)将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　) A．g(x)的最大值为，其图象关于直线x＝－对称 B．g(x)的图象关于y轴对称 C．g(x)的最小正周期为π D．g(x)的图象关于点中心对称 答案　BCD 解析　将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos2x－1的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos2x的图象．对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；函数g(x)的最小正周期为＝π，故C正确；当x＝时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点中心对称，故D正确． 7．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________． 答案　 解析　因为f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，f(x)和g(x)的图象完全相同，所以ω＝2，则f(x)＝3sin.因为x∈，所以－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，所以－≤f(x)≤3. 8．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上单调递增，且直线y＝－2与函数f(x)的图象在[－2π，0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是________． 答案　 解析　令－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，可得－＋≤x≤＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，因为函数f(x)在上单调递增，所以⊆，可得因为ω>0，解得0<ω≤，又因为直线y＝－2与函数f(x)的图象在[－2π，0]上有且仅有一个交点，所以解得≤ω<.综上可得，实数ω的取值范围是. 二、高考小题 9．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由题意，＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D. 10．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　因为函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos＝cos＝－sin2x的图象，所以f(x)＝－sin2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，作出y＝f(x)与y＝x－的部分图象如图，所以由图可知，y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3.故选C. 11．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案　A 解析　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin＋2＝1.故选A. 12．(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sinx，x∈的图象如图所示，则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω的取值范围是.故选C. 13．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 答案　AD 解析　由题意得f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又0＜φ＜π，所以k＝2时，φ＝，故f(x)＝sin.对于A，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sinu的图象知，y＝f(x)在区间单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sinu的图象知，y＝f(x)在区间只有1个极值点，故B错误；对于C，当x＝时，2x＋＝3π，f＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C错误；对于D，由y′＝2cos＝－1得cos＝－，解得2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，从而得x＝kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，所以曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为－1，切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x，故D正确．故选AD. 14．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案　[2，3) 解析　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cost＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 15.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 答案　－ 解析　设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sinx＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，则ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin＝sin(k∈Z)，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)<0，所以f(x)＝sin，则f(π)＝sin＝－. 三、模拟小题 16．(2024·河北邢台四校高三月考)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得g(x)＝2sin＝2sin，因为g(x)是偶函数，所以－2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝－－(k∈Z)．因为φ>0，所以当k＝－1时，φ取得最小值.故选B. 17．(2024·山东威海银滩高级中学高三月考)已知函数f(x)＝2cos(ω>0)，若f(x)在[0，π)内有且仅有3个零点和3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由题意，当x∈[0，π)时，令t＝ωx＋，则t∈，若f(x)在[0，π)内有且仅有3个零点和3条对称轴，则y＝2cost在t∈内有且仅有3个零点和3条对称轴，则3π<ωπ＋≤，解得<ω≤.故选A. 18．(2024·浙江嘉兴高三基础测试)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在[－2m，m](m>0)上单调递增，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知g(x)＝f＝sin＝sin，当x∈[－2m，m]时，2x＋∈，∵g(x)在[－2m，m]上单调递增，∴(k∈Z)，∴(k∈Z)；若－>＋kπ(k∈Z)，则k<，此时m≤＋kπ，又m>0，∴k＝0，∴0<m≤；若－≤＋kπ(k∈Z)，则k≥，k≥1，此时m≤－<0，与m>0矛盾，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为.故选B. 19．(2023·山东潍坊一模)设函数y＝sin在区间上的最大值为g1(t)，最小值为g2(t)，则g1(t)－g2(t)的最小值为(　　) A．1 B． C． D． 答案　D 解析　因为函数y＝sin，所以其最小正周期为T＝＝π，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，因为函数y＝sin在区间上的最大值为g1(t)，最小值为g2(t)，所以当区间关于函数图象的对称轴对称时，g1(t)－g2(t)取得最小值，区间对称轴为直线x＝＝t＋，此时函数y＝sin有最值±1，不妨设y取得最大值g1(t)＝1，则有sin＝1，所以sin＝1，解得2t＋＝＋2kπ，k∈Z，得t＝kπ－，k∈Z，所以g2(t)＝sin＝sin＝sin＝(k∈Z)，所以g1(t)－g2(t)的最小值为.故选D. 20．(多选)(2023·重庆第一中学高三月考)已知函数f(x)＝sin(x＋φ)(0<φ<2π)，g(x)＝sin(ω>0)，若将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的后，再将图象向右平移个单位，可以得到g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．φ＝ B．g(x)的周期为π C．g(x)的一个单调递增区间为 D．g(x)＝在区间(a，b)上有5个不同的解，则b－a的取值范围为(2π，3π] 答案　ABD 解析　将f(x)＝sin(x＋φ)的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到y＝sin(2x＋φ)的图象，再向右平移个单位，得到g(x)＝sin的图象， ∴又0<φ<2π，∴故A正确；由A项分析可知g(x)＝sin，∴周期T＝＝π，故B正确；由x∈，得2x＋∈，>，可知g(x)在上不单调，故C错误；g(x)＝在区间(a，b)上有5个不同的解，由函数图象可知，区间(a，b)的长度大于两个周期，小于等于3个周期，故b－a∈(2π，3π]，故D正确．故选ABD. 21．(多选)(2024·重庆七校高三第一次月考)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面的高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H(t) m．游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱．在运行一周的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差为h m．下列结论正确的是(　　) A．H(t)＝55sin＋65 B．H(5)＝38.5 C．在运行一周的过程中，H(t)>90的时间超过10 min D．hmax＝55 答案　ACD 解析　由题意可得H(t)是关于t的三角函数，如图所示，以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，设摩天轮距地面最近的点为P，则当t＝0时，游客甲位于点P(0，－55)处，以OP为终边的角为－，而转一圈大约需要30 min，可知角速度大约为 rad/min，由题意可得H(t)＝55sin＋65，故A正确；当t＝5时，H(5)＝55sin＋65＝37.5，故B错误；H(t)＝55sin＋65≥90＋2.5⇒sin≥，当0≤t≤30时，t－∈，故t－∈⇒t∈[10，20]，即在运行一周的过程中，高度不低于(90＋2.5) m的时间为20－10＝10 min，显然高度超过90 m的时间超过10 min，故C正确；甲、乙所在位置分别设为A，B两点，甲、乙座舱差7个，则∠AOB＝8×＝，故t min后甲、乙的高度分别为H1＝55sin＋65，H2＝55sin＋65，其高度差h＝|H1－H2|＝55＝55≤55，故D正确．故选ACD. 22.(2023·云南红河开远市第一中学高三校考开学考试)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为________． 答案　y＝2cosx 解析　由题意知，T＝－＝，即T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)，因为图象经过点，所以f＝2cos＝2，所以＋φ＝2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2cos，将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，得y＝2cos＝2cos2x的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2cosx的图象，所以所得函数图象的解析式为y＝2cosx. 一、高考大题 1．(2023·北京高考)设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ. (1)若f(0)＝－，求φ的值； (2)已知f(x)在区间上单调递增，f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f＝； 条件②：f＝－1； 条件③：f(x)在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ， 所以f(0)＝sin(ω·0)cosφ＋cos(ω·0)sinφ＝sinφ＝－， 因为|φ|<，所以φ＝－. (2)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，ω>0，|φ|<， 所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<， 所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解，故条件①不能使函数f(x)存在． 若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1， 所以＝－＝π， 所以T＝2π，ω＝＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)， 又因为f＝－1，所以sin＝－1， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝－. 所以ω＝1，φ＝－. 若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1， 即f＝－1. 以下与选条件②相同． 二、模拟大题 2．(2024·福建省龙岩二中月考)已知函数f(x)＝cos(ω>0)图象上任意两条相邻对称轴间的距离为. (1)求函数f(x)的单调区间和其图象的对称中心； (2)若关于x的方程2sin2x－mcosx－4＝0在x∈上有实数解，求实数m的取值范围． 解　(1)函数f(x)＝cos(ω>0)图象上任意两条相邻对称轴间的距离为， ∴＝，即T＝π，那么＝π，可得ω＝2， ∴f(x)＝cos. 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z， 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， ∴函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z. (2)方程2sin2x－mcosx－4＝0在x∈上有实数解，即2cos2x＋mcosx＋2＝0在x∈上有实数解， 令t＝cosx，∵x∈，∴t∈(0，1)， 则2t2＋mt＋2＝0，即m＝－2在(0，1)上有解， 易得g(t)＝－2在(0，1)上单调递增，且t→0＋时，g(t)→－∞，∴m<g(1)＝－4， ∴实数m的取值范围为(－∞，－4)． 3．(2024·江苏靖江中学、华罗庚中学高三第一次阶段考试)已知函数f(x)＝cos4x－sin4x＋sin. (1)求函数f(x)在上的单调递增区间； (2)将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于点中心对称，在上的值域为，求α的取值范围． 解　(1)f(x)＝cos4x－sin4x＋sin＝cos2x＋sin2x＝sin， 因为x∈，所以2x＋∈， 所以当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为. (2)由题意可知g(x)＝sin. 因为函数g(x)的图象关于点中心对称， 所以2×＋2φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以k＝1，φ＝， 所以g(x)＝sin. 当x∈时，2x＋∈. 因为g(x)在上的值域为， 所以≤2α＋≤，解得≤α≤. 所以α的取值范围为. 4．(2023·吉林白山高三四模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象是由y＝2sin的图象向右平移个单位长度得到的． (1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的图象与y轴距离最近的对称轴方程； (2)若f(x)在上有且仅有一个零点，求ω的取值范围． 解　(1)由＝π，得ω＝2， 所以f(x)＝2sin＝2sin， 令2x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 取k＝0，得x＝，取k＝－1，得x＝－， 因为<，所以与y轴距离最近的对称轴方程为x＝－. (2)由已知得f(x)＝2sin＝2sin， 令ωx＋＝kπ，k∈Z， 解得x＝π，k∈Z. 因为f(x)在上有且仅有一个零点， 所以(k∈Z)， 所以 因为ω>0，所以 解得<k<，k∈Z，所以k＝1， 解得≤ω<，即ω的取值范围为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$