考点测试23 三角函数的图象与性质-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试23　三角函数的图象与性质 高考 概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度 考点 研读 1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性 2．理解正弦函数、余弦函数在R上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(k∈Z)内的单调性 一、基础小题 1．下列四个函数，最小正周期是的是(　　) A．y＝sin2x B．y＝cos C．y＝sin4x D．y＝tan3x 答案　C 解析　对于A，T＝＝π，A错误；对于B，T＝＝4π，B错误；对于C，T＝＝，C正确；对于D，T＝，D错误．故选C. 2．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是(　　) A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝|sinx| D．y＝tanx 答案　D 解析　对于A，因为函数y＝sin2x的定义域为R，且sin(－2x)＝－sin2x，所以y＝sin2x为奇函数，因为x∈，所以2x∈(0，π)，则函数y＝sin2x在上不单调，A不符合题意；对于B，因为函数y＝cos2x的定义域为R，且cos(－2x)＝cos2x，所以y＝cos2x为偶函数，B不符合题意；对于C，因为函数y＝|sinx|的定义域为R，且|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|，所以y＝|sinx|为偶函数，C不符合题意；对于D，因为函数y＝tanx的定义域为(k∈Z)，关于原点对称，且tan(－x)＝－tanx，所以y＝tanx为奇函数，又函数y＝tanx在上单调递增，D符合题意．故选D. 3．已知函数y＝2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．2 B．3 C．＋2 D．2－ 答案　B 解析　因为函数y＝2cosx的定义域为，所以函数y＝2cosx的值域为[－2，1]，所以b－a＝1－(－2)＝3.故选B. 4．若直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，则不等式tanx≥2a的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，所以a＝，故tanx≥2a即tanx≥1的解集为． 5．函数f(x)＝sin2x＋sinx在[－π，π]的图象大致是(　　) 答案　A 解析　显然f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D；在区间上，sin2x＞0，sinx＞0，即f(x)＞0，排除B，C.故选A. 6．函数f(x)＝log2＋的定义域为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案　A 解析　由题意故k∈Z，解得kπ≤x<kπ＋，k∈Z.即函数f(x)的定义域为，k∈Z.故选A. 7．(多选)下列关于函数y＝tan的说法，正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称 答案　AB 解析　令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，任取k值均不能得到x＝，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选AB. 8．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为1 C．f(x)的图象关于y轴对称 D．f(x)在区间上单调递减 答案　ABC 解析　∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，最大值为1，A，B正确；∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；∵f1(x)＝cos2x在上单调递减，故f(x)＝－cos2x在上单调递增，D错误．故选ABC. 9．已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，x∈，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 答案　　1 解析　f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－＋，当x∈时，sinx∈，∴当sinx＝时，f(x)取得最大值；当sinx＝1时，f(x)取得最小值1. 二、高考小题 10．(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 答案　B 解析　f(x)＝sin，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sinπ＝0，所以函数f(x)＝sin的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；f(x)＝cos，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cosπ＝－1，所以函数f(x)＝cos的图象关于直线x＝2对称，故B符合题意；函数f(x)＝sin和f(x)＝cos的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.故选B. 11．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 答案　C 解析　f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A，当－<x<－时，－π<2x<－，则f(x)在上单调递增，A错误；对于B，当－<x<时，－<2x<，则f(x)在上不单调，B错误；对于C，当0<x<时，0<2x<，则f(x)在上单调递减，C正确；对于D，当<x<时，<2x<，则f(x)在上不单调，D错误．故选C. 12．(2022·天津高考)已知f(x)＝sin2x，关于该函数有下列四个说法： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(x)在上单调递增； ③当x∈时，f(x)的取值范围为； ④f(x)的图象可由g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为f(x)＝sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，①不正确；令t＝2x∈，而y＝sint在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，②正确；因为t＝2x∈，sint∈，所以f(x)∈，③不正确；由于g(x)＝sin＝sin，所以f(x)的图象可由g(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．故选A. 13．(2021·北京高考)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 答案　D 解析　因为f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，且函数定义域为R，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2＋，所以当cosx＝时，f(x)取最大值.故选D. 14．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2 B. C．1 D. 答案　A 解析　由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A. 15．(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 答案　C 解析　①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，且函数的定义域为R，∴f(x)是偶函数，①正确．②中，当x∈时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误．③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝＋2kπ(k∈N)或x＝－－2kπ(k∈N)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C. 16．(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sinx＋有如下四个命题： ①f(x)的图象关于y轴对称； ②f(x)的图象关于原点对称； ③f(x)的图象关于直线x＝对称； ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是________． 答案　②③ 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋＝－sinx－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f＝sin＋＝cosx＋，f＝sin＋＝cosx＋，则f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x＜0时，sinx＜0，则f(x)＝sinx＋＜0＜2，命题④错误． 三、模拟小题 17．(2024·广东南粤名校高三联考)函数y＝|cosx|的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　画出y＝|cosx|的图象，如图，由图可知，函数y＝|cosx|的一个单调递减区间为.故选C. 18．(2023·河南省部分名校高三月考)“函数f(x)＝sin2x＋(a2－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为函数f(x)＝sin2x＋(a2－1)cosx是定义域为R的奇函数，则∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，于是得2(a2－1)cosx＝0，而cosx不恒为0，则有a2－1＝0，解得a＝±1，因此，当a＝1时，f(x)是奇函数，而f(x)是奇函数时，a可以为－1，所以“函数f(x)＝sin2x＋(a2－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的必要不充分条件．故选B. 19．(2024·北京海淀人大附中高三质量检测)已知函数f(x)＝＋，给出下列结论： ①2π是f(x)的一个周期； ②f(x)的图象关于直线x＝对称； ③f(x)在区间上无最大值． 其中正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因为f＝＋＝＋＝＋＝2，f＝＋＝－＋＝0，所以f≠f，可得2π不是f(x)的一个周期，故①错误；又f＝＋＝－＝0，所以f≠f，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故②错误；f(x)＝－＋＝＝，x∈，令t＝sinx－cosx＝sin，则x－∈，t∈[－，－1)，y＝＝在t∈[－，－1)上单调递增，所以无最大值，即函数f(x)在区间上无最大值，故③正确．故选B. 20．(2023·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)函数f(x)＝2sinx－sin2x是(　　) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为3 答案　C 解析　f(x)＝2sinx－sin2x的定义域为R，且f(－x)＝2sin(－x)－sin(－2x)＝－2sinx＋sin2x＝－f(x)，故f(x)＝2sinx－sin2x为奇函数，排除B，D；由于f(x＋2π)＝2sin(x＋2π)－sin(2x＋4π)＝2sinx－sin2x＝f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，要求f(x)＝2sinx－sin2x的最大值，只需考虑x∈[0，2π]的情况，f′(x)＝2cosx－2cos2x＝2cosx－4cos2x＋2＝2(2cosx＋1)(1－cosx)，当x∈时，f′(x)≥0，故f(x)在上单调递增，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递减，当x∈时，f′(x)≥0，故f(x)在上单调递增，故f(x)＝2sinx－sin2x在x＝处取得极大值，f＝2sin－sin＝2×＋＝，又f(2π)＝2sin2π－sin4π＝0，故f(x)＝2sinx－sin2x的最大值为.故选C. 21．(多选)(2024·江苏苏州新草桥中学高三月考)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　) A．y＝f(x)的一个周期为2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．y＝f(x＋π)的一个零点为 D．y＝f(x)在单调递减 答案　ABC 解析　因为函数f(x)＝cos，所以它的一个周期为2π，故A正确；令x＝，求得f(x)＝－1为最小值，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；对于y＝f(x＋π)＝cos＝－cos，令x＝，可得f(x＋π)＝0，故y＝f(x＋π)的一个零点为，故C正确；当x∈时，x＋∈，函数y＝cosx在上单调递减，在上单调递增，所以函数f(x)在上不单调，故D错误．故选ABC. 22．(2023·珠海模拟)若方程cos2x－sinx＋a＝0在内有解，则a的取值范围是________． 答案　(－1，1] 解析　方程cos2x－sinx＋a＝0，即sin2x＋sinx－a－1＝0.由于x∈，所以0<sinx≤1.设sinx＝t∈(0，1]，则问题转化为方程t2＋t－a－1＝0在(0，1]上有解．设y＝f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t＝－，在区间(0，1]的左侧，图象如图所示．因此f(t)＝0在(0，1]上有解，当且仅当即解得－1<a≤1，故a的取值范围是(－1，1]． 一、高考大题 1．(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)． (1)求函数y＝的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 解　(1)因为f(x)＝sinx＋cosx， 所以f＝sin＋cos＝cosx－sinx， 所以y＝＝(cosx－sinx)2＝1－sin2x. 所以函数y＝的最小正周期T＝＝π. (2)因为f＝sin＋cos＝sinx， 所以y＝f(x)f＝sinx(sinx＋cosx) ＝(sinxcosx＋sin2x)＝＝sin＋. 当x∈时，2x－∈， 所以当2x－＝，即x＝时，函数y＝f(x)·f在上取得最大值，且最大值为1＋. 2．(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R. (1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y＝＋的值域． 解　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)， 即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ， 故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝. (2)y＝＋ ＝sin2＋sin2 ＝＋ ＝1－ ＝1－cos. 因此所求函数的值域是. 二、模拟大题 3．(2023·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)＝a－bsinx(a，b∈R)． (1)若b>0，函数f(x)的最大值为0，最小值为－6，求a，b的值； (2)当a＝2时，函数g(x)＝f(x)－sin2x的最大值为2，求b的值． 解　(1)因为b>0，所以当sinx＝－1时，f(x)最大，当sinx＝1时，f(x)最小， 可得解得 (2)g(x)＝f(x)－sin2x＝2－bsinx－sin2x＝－＋＋2. 令t＝sinx，则t∈[－1，1]，y＝＋2－，t∈[－1，1]， 当－<－1，即b>2时，y＝＋2－在[－1，1]上单调递减， ymax＝＋2－＝1＋b＝2， 得b＝1(舍去)； 当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时， ymax＝2＋＝2，得b＝0； 当－>1，即b<－2时，y＝＋2－在[－1，1]上单调递增，ymax＝＋2－＝1－b＝2，得b＝－1(舍去)． 综上可得，b＝0. 4．(2023·福建省厦门市第一次质量检测)已知函数f(x)＝sin4－cos4在区间(t∈R)上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)． (1)求g的值； (2)设h(t)＝g(t)－1，试写出方程h(t)＝0的一个解． 解　(1)f(x)＝sin4－cos4＝sin2－cos2＝－cos＝sin2x. 当t＝时，x∈，此时2x∈， ∴M＝sin＝1，m＝sin＝sin＝，于是g＝1－. (2)由(1)知，f(x)＝sin2x，最小正周期T＝π，当h(t)＝g(t)－1＝0，即g(t)＝1时，M(t)＝1，m(t)＝0或M(t)＝0，m(t)＝－1显然满足题意， 由于区间的长度为， 即，只要满足2＝(k∈Z)， 即可满足M(t)＝1，m(t)＝0或M(t)＝0，m(t)＝－1， 此时t＝＋(k∈Z)．(此题答案不唯一) 15 学科网（北京）股份有限公司 $$