考点测试22 三角恒等变换及应用-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试22　三角恒等变换及应用 高考 概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考点 研读 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆) 一、基础小题 1．已知α∈，cosα＝－，则tan＝(　　) A． B．7 C．－ D．－7 答案　C 解析　因为α∈，cosα＝－，所以sinα＝，tanα＝－，所以tan＝＝－. 2．已知cosθ＝，则sin＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　A 解析　由题意可知，sin＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.故选A. 3.的值是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　原式＝ ＝＝＝. 4．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cosα＋1＝0，则tanα＝(　　) A. B．2 C．－2 D．－ 答案　C 解析　3cos2α＋4cosα＋1＝0，3(2cos2α－1)＋4cosα＋1＝0，整理得3cos2α＋2cosα－1＝(3cosα－1)(cosα＋1)＝0，解得cosα＝或cosα＝－1.因为α∈(－π，0)，所以cosα＝，sinα＝－，tanα＝＝－2.故选C. 5．已知α为锐角，且(－tan10°)cosα＝1，则α的值为(　　) A．40° B．50° C．70° D．80° 答案　B 解析　∵(－tan10°)cosα＝1，∴·cosα＝1，∴(cos10°－sin10°)cosα＝cos10°，∴2cos40°cosα＝sin80°，∴2cos40°cosα＝2sin40°·cos40°，∴cosα＝sin40°＝cos50°，又α为锐角，∴α＝50°.故选B. 6．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则cosα＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　B 解析　∵∴0<α－β<π，cosβ＝.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，∴cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)·sinβ＝. 7．(多选)已知0＜θ＜，若sin2θ＝m，cos2θ＝n，且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的是(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　tan＝＝＝＝＝或tan＝＝＝＝＝.故选AD. 8．(多选)下列式子中，值为的是(　　) A．cos36°cos72° B．sin15°sin75° C．＋ D．－cos215° 答案　AB 解析　cos36°cos72°＝＝＝＝，故A正确；sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝，故B正确；＋＝＝＝＝＝4，故C错误；－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．故选AB. 9．cos20°cos40°cos80°的值为________． 答案　 解析　cos20°cos40°cos80°＝＝＝. 10．已知tanα＝2cosβ≠0，cos(α－β)＝sinα，则sinβ＝________． 答案　 解析　因为tanα＝2cosβ≠0，所以＝2cosβ≠0⇒cosαcosβ＝sinα，且sinα≠0，cosα≠0，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝sinα，所以sinα＋sinαsinβ＝sinα，因为sinα≠0，所以＋sinβ＝⇒sinβ＝. 二、高考小题 11．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为cosα＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝.故选D. 12．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cosαsinβ＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　B 解析　因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，而cosαsinβ＝，因此sinαcosβ＝，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，所以cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. 13．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 答案　C 解析　由已知得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C. 14．(2021·全国甲卷)若α∈，tan2α＝，则tanα＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为tan2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，因为α∈，所以cosα≠0，sinα＝，所以cosα＝，tanα＝＝.故选A. 15．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C．·＝· D．·＝· 答案　AC 解析　对于A，因为||＝＝1，||＝＝1，所以A正确；对于B，因为||＝＝，||＝＝，所以B错误；对于C，因为·＝(1，0)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cos(α＋β)，·＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以·＝·，所以C正确；对于D，因为·＝(1，0)·(cosα，sinα)＝cosα，·＝(cosβ，－sinβ)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(2β＋α)，所以D错误．故选AC. 16．(2022·浙江高考)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝________，cos2β＝________． 答案　　 解析　∵α＋β＝，∴sinβ＝cosα，即3sinα－cosα＝，即＝，令sinθ＝，cosθ＝，则sin(α－θ)＝，∴α－θ＝＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋＋2kπ，k∈Z，∴sinα＝sin＝cosθ＝(k∈Z)，则cos2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝. 三、模拟小题 17．(2024·山西高三月考)已知tan＝－3，则cos2α＋1＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由tan＝－3，有＝－3，解得tanα＝－2，则cos2α＋1＝2cos2α＝＝＝.故选C. 18．(2023·江苏姜堰中学高三月考)若tanα＝2tan10°，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　∵tanα＝2tan10°，∴＝＝＝＝＝＝3.故选C. 19．(2023·山西运城景胜中学高三考试)已知tan＝，tan＝，则tan(α－2β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　B 解析　由tan＝，得tan＝＝＝，而tan＝，故tan(α－2β)＝tan＝＝＝－.故选B. 20．(2024·浙江名校联盟高三研究卷)已知α∈(0，π)，若(sinα＋sin2α)＋cosα－cos2α＝0，则sin＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵(sinα＋sin2α)＋cosα－cos2α＝0，∴sinα＋cosα＝cos2α－sin2α，∴sin＝sin，∴α＋＝－2α＋2kπ，k∈Z或α＋＋－2α＝2kπ＋π，k∈Z，又α∈(0，π)，∴α＝，sin＝sin＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝.故选C. 21．(2024·湖南长沙一中高三月考)已知角α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＋cos(α－β)＝0，sinαsinβ－3cosαcosβ＝0，则tan(α＋β)＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 答案　D 解析　由sin(α＋β)＋cos(α－β)＝0，可得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，＝－1，故＝－1.又sinαsinβ－3cosαcosβ＝0，故sinαsinβ＝3cosαcosβ，即tanαtanβ＝3，代入＝－1可得tanα＋tanβ＝－4.故tan(α＋β)＝＝2.故选D. 22．(多选)(2023·江苏盐城市伍佑中学高三月考)以下式子均有意义，则下列等式恒成立的是(　　) A．cosαsinβ＝ B．＝ C．＝ D．＝2cos(α＋β)＋ 答案　BCD 解析　对于A，因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以sinαcosβ＝，故A错误；对于B，因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以＝，故B正确；对于C，＝＝，＝＝，所以＝，故C正确；对于D，－2cos(α＋β)＝－2cos(α＋β)＝－2cos(α＋β)＝＝＝，所以＝2cos(α＋β)＋，故D正确．故选BCD. 23．(2023·重庆七校高三月考)已知α，β是锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝________． 答案　 解析　∵α，β∈，∴0<α＋β<π，∵sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosα＝，sin(α＋β)＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝. 24．(2023·四川绵阳盐亭中学三诊模拟)已知cos＝，则cos＝________． 答案　 解析　sin＝cos＝cos＝，cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题 1．(2024·黑龙江哈尔滨三中第二次验收考试)已知cos2α＝，tanβ＝－，其中0<α<，<β<π. (1)求sin的值； (2)求β－2α的值． 解　(1)由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝， 可得cos2α＝，sin2α＝， 又因为0<α<，则cosα>0，sinα>0， 可得cosα＝，sinα＝， 所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝. (2)因为0<α<，则0<2α<， 且cos2α＝， 可得sin2α＝＝， 所以tan2α＝＝， 可得tan(β－2α)＝＝ ＝－1， 又因为<β<π，可得<β－2α<π， 所以β－2α＝. 2．(2024·河南南阳六校高三月考)已知<α<，sin＝－. (1)求cosα的值； (2)若0<β<，cos＝，求cos(2α＋β)的值． 解　(1)因为<α<，所以－<－α<0， 又sin＝－，所以cos＝， 所以cosα＝cos ＝coscos＋sinsin ＝. (2)由(1)，得sinα＝sin ＝sincos－cossin＝， 所以cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－， sin2α＝2sinαcosα＝2××＝， 又0<β<，所以＋β∈， 又cos＝，所以sin＝， 所以cosβ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝， sinβ＝＝， 所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝×－×＝－. 3．(2024·重庆高三月度质量检查)已知tan(α＋β)＝，tan＝－，cosγ＝，其中α，γ为锐角． (1)求tanα的值； (2)求α＋2γ的值． 解　(1)由题意知tan＝tan＝＝＝， 所以tanα＝tan＝＝＝. (2)由题意知cosγ＝且γ为锐角， 所以sinγ＝＝＝， 所以tanγ＝＝， 所以tan2γ＝＝＝， 所以tan(α＋2γ)＝＝＝1， 因为α，γ为锐角，所以0<2γ<π且tan2γ＝>0， 所以0<2γ<， 则0<α＋2γ<π， 故α＋2γ＝. 4．(2023·北京清华附中高三月考)已知α，β∈，且sin(α＋2β)＝sinα. (1)求证：tan(α＋β)＝6tanβ； (2)若tanα＝3tanβ，求α的值． 解　(1)证明：由sin(α＋2β)＝sinα， 得sin[(α＋β)＋β]＝sin[(α＋β)－β]， 整理，得sin(α＋β)cosβ＝6cos(α＋β)sinβ. 又α，β∈， 所以tan(α＋β)＝6tanβ. (2)由(1)，知＝6tanβ， 又tanα＝3tanβ， 所以＝2tanα. 又α∈，所以tanα＝1，所以α＝. 5．(2024·山东部分学校高三月考)已知函数f(x)＝sin2x－sin2xsin. (1)设钝角α满足tan2α＝－，求f(α)的值； (2)若f(β)＝，β∈，求cos的值． 解　(1)由tan2α＝＝－， 即12tan2α－7tanα－12＝0， 解得tanα＝－或， 因为α为钝角，所以tanα＝－， 所以f(α)＝＝＝＝＝. (2)f(x)＝sin2x－sin2x＝－＝－sin， 由f(β)＝－sin＝， 得sin＝. 因为β∈， 所以2β＋∈， 所以cos＝－＝－. 故cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$