考点测试21 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试21　同角三角函数的基本关系与诱导公式 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低、中等难度 考点 研读 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα 2．能推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式 一、基础小题 1．cos－sin的值是(　　) A. B．－ C．0 D. 答案　C 解析　原式＝cos－sin＝cos－sin＝0.故选C. 2．若x是第四象限角，且sinx＝－，则cos(π－x)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　因为x是第四象限角，所以cosx＞0，所以cosx＝＝＝，所以cos(π－x)＝－cosx＝－.故选D. 3．已知＋β＝，sinα＝，则cos2β＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　C 解析　因为2β＝2＝－α，所以cos2β＝cos＝sinα＝.故选C. 4．已知sinθ＝－，θ∈，则sin(θ－5π)·sin的值是(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　B 解析　因为sinθ＝－，θ∈，所以cosθ＝＝，所以原式＝－sin(π－θ)(－cosθ)＝sinθcosθ＝－×＝－.故选B. 5．若tanα＝cosα，则＋cos4α的值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　由题意知，tanα＝cosα，则＝cosα，故sinα＝cos2α，故＋cos4α＝＋sin2α＝sinα＋＋1－cos2α＝sinα＋＋1－sinα＝2.故选B. 6．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，则sinα－cosα＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝，即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，所以2sinαcosα＝－.因为0<α<π，所以cosα<0<sinα，所以sinα－cosα>0.因为(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋＝，所以sinα－cosα＝.故选B. 7．化简：－(α是第二、三象限角)＝(　　) A．－ B. C．－2tanα D．2tanα 答案　C 解析　－＝－＝.当α是第二、三象限角时，原式＝－＝－2tanα.故选C. 8．已知2sin(π－α)＝3sin，则sin2α－sin2α－cos2α＝(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　B 解析　由2sin(π－α)＝3sin，得2sinα＝3cosα，所以tanα＝，从而sin2α－sin2α－cos2α＝＝＝－. 9．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　D 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝，∵|θ|<，∴θ＝.故选D. 10．(多选)若sinα＝，且α为锐角，则下列结论中正确的是(　　) A．tanα＝ B．cosα＝ C．sinα＋cosα＝ D．sinα－cosα＝－ 答案　AB 解析　∵sinα＝，且α为锐角，∴cosα＝＝＝，故B正确；tanα＝＝＝，故A正确；sinα＋cosα＝＋＝≠，故C错误；sinα－cosα＝－＝≠－，故D错误．故选AB. 11．化简：＝________． 答案　1 解析　原式＝＝＝1. 12．已知tanθ＋＝4，则sinθcosθ＝________，sin4θ＋cos4θ＝________． 答案　　 解析　tanθ＋＝＋＝＝＝4，则sinθcosθ＝.sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝. 二、高考小题 13．(2022·浙江高考)设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由sin2x＋cos2x＝1可得，当sinx＝1时，cosx＝0，充分性成立；当cosx＝0时，sinx＝±1，必要性不成立．所以当x∈R时，“sinx＝1”是“cosx＝0”的充分不必要条件．故选A. 14．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　解法一：因为tanθ＝－2，所以＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝＝＝＝.故选C. 解法二：＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)．由tanθ＝＝－2，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝，所以＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)＝×(4－2)＝.故选C. 15．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由3cos2α－8cosα＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，解得cosα＝－或cosα＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sinα＝＝.故选A. 16．(2023·全国乙卷)若θ∈，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________． 答案　－ 解析　因为θ∈，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝＝，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sinθ＝－(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－. 三、模拟小题 17．(2024·广东六校高三第二次联考)已知sin(α＋π)＝，则cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　因为sin(α＋π)＝－sinα＝，所以sinα＝－，则cos＝－sinα＝.故选A. 18．(2023·陕西省西安市六区联考)已知x∈(0，π)，则“sinx＝”是“cosx＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由x∈(0，π)可得，当sinx＝时，cosx＝±，充分性不成立；当cosx＝时，sinx＝，必要性成立．所以“sinx＝”是“cosx＝”的必要不充分条件．故选B. 19．(2023·河北省级联测高三第一次考试)若cos＝，则sin＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin＝sin＝cos＝.故选D. 20．(2023·湖北宜昌二模)若sin10°＝asin100°，则sin20°＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　由题意可得a＞0，因为sin10°＝asin100°＝asin(90°＋10°)＝acos10°，又因为sin210°＋cos210°＝1，解得sin10°＝，cos10°＝，所以sin20°＝2sin10°cos10°＝2··＝.故选C. 21．(2023·四川宜宾期末)若tanα＝－，0<α<π，则sinα＋cosα＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　因为tanα＝＝－，0<α<π，所以sinα>0，cosα<0，所以sin2α＋cos2α＝＋cos2α＝1，解得cosα＝－或cosα＝(舍去)，可得sinα＝×＝，所以sinα＋cosα＝＋＝－.故选C. 22．(2024·湖南三湘创新联合体高三月考)已知α是第四象限角，且2tan2α－tanα－1＝0，则＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　由2tan2α－tanα－1＝0，解得tanα＝－或tanα＝1.因为α是第四象限角，所以tanα＝－，故＝＝＝. 23．(多选)(2023·湖北武汉武昌区期末)已知θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cosθ＝－ C．tanθ＝－ D．＝－ 答案　AD 解析　由θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝>1，得sinθ>0，cosθ<0，则θ∈，故A正确．由sinθ－cosθ＝，两边平方可得，1－2sinθcosθ＝，则2sinθcosθ＝－.∵sinθ＋cosθ＝sin，θ∈，∴θ＋∈，sinθ＋cosθ＝sin∈(－1，1)，则sinθ＋cosθ＝±＝±＝±＝±.当sinθ＋cosθ＝时，联立解得sinθ＝，cosθ＝－，则tanθ＝＝－，＝＝－；当sinθ＋cosθ＝－时，联立 解得sinθ＝，cosθ＝－，则tanθ＝＝－，＝＝－，故B，C错误，D正确．故选AD. 24．(2023·重庆市第七中学月考)在△ABC中，若sinA＋cosA＝，则tanA＝________． 答案　－ 解析　因为sinA＋cosA＝，所以1＋2sinAcosA＝，即sinAcosA＝－，因为sinA＞0，cosA＜0，所以sinA＝，cosA＝－，所以tanA＝－. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$