考点测试20 任意角和弧度制、任意角的三角函数-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 第四章　三角函数与解三角形 考点测试20　任意角和弧度制、任意角的三角函数 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低等难度 考点 研读 1.了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 一、基础小题 1.扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为，则这把扇子的弧长为(　　) A．6π cm B．12π cm C．18π cm D．24π cm 答案　B 解析　因为扇形的半径为16 cm，圆心角为，所以弧长为×16＝12π cm.故选B. 2．已知钝角α的终边经过点，则α＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得，钝角α的终边经过点，所以tanα＝－1，所以α＝. 3．若角α与角β的终边关于y轴对称，则(　　) A．α＋β＝π＋kπ(k∈Z) B．α＋β＝π＋2kπ(k∈Z) C．α＋β＝＋kπ(k∈Z) D．α＋β＝＋2kπ(k∈Z) 答案　B 解析　∵π－α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π－α的终边相同，即β＝2kπ＋(π－α)(k∈Z)，∴α＋β＝α＋2kπ＋(π－α)＝(2k＋1)π(k∈Z)．故选B. 4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则x的值为(　　) A. B．± C．－ D．－ 答案　D 解析　∵cosα＝＝x，∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3.∵α是第二象限角，∴x＝－.故选D. 5．一个钟表的分针长为10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是(　　) A. B. C．105π D. 答案　B 解析　经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30°，则分针走过的度数为7×30°＝210°，因为钟表的分针长为10，所以分针扫过图形的面积是×π×102＝.故选B. 6．若角α满足sinαcosα<0，cosα－sinα<0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵sinαcosα<0，∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cosα<0，sinα>0，满足cosα－sinα<0；当α是第四象限角时，cosα>0，sinα<0，则cosα－sinα>0，不符合题意．综上所述，α是第二象限角． 7．圆心角相同的两个扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形的周长之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶ D．1∶8 答案　C 解析　设两扇形的半径分别为r1，r2，面积分别为S1，S2，由扇形面积公式S＝αr2得＝＝＝，得＝，则两个扇形的周长之比为＝.故选C. 8．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　B 解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1. 9．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．若0<α<，则sinα<tanα B．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝ D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 答案　ABD 解析　若0<α<，则sinα<＝tanα，A正确；若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，则∈，k∈Z，为第一象限或第三象限角，B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝＝，不一定等于，C错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，其圆心角的大小为＝1弧度，D正确．故选ABD. 10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则sinβ＝________． 答案　 解析　由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝(k∈Z)． 11．角α是第四象限角，且＝－cos，则角是第________象限角． 答案　二 解析　由角α是第四象限角，可得2kπ－＜α＜2kπ，k∈Z，∴kπ－＜＜kπ，k∈Z，∵＝－cos，∴cos＜0，∴2kπ＋＜＜2kπ＋，k∈Z，∴2kπ＋＜＜2kπ＋π，k∈Z，∴是第二象限角． 12．已知扇形AOB的周长为8，在这个扇形的面积取得最大值时，其对应的圆心角的大小为________，弦长AB为________． 答案　2　4sin1 解析　设半径为r，弧AB的长为l，圆心角为α，则l＝8－2r，扇形面积S＝lr＝(4－r)r＝－r2＋4r，利用二次函数性质可得，当且仅当r＝2时S取得最大值，此时l＝4，所以α＝＝2，由垂径定理得AB＝2rsin＝4sin1. 二、高考小题 13．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 答案　D 解析　当α＝－时，cos2α＝cos＜0，A错误；当α＝－时，cos2α＝cos＞0，B错误；由α为第四象限角可得sinα＜0，cosα＞0，则sin2α＝2sinαcosα＜0，C错误，D正确．故选D. 14．(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　　) A．3n B．6n C．3n D．6n 答案　A 解析　单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为＝，每条边长为2sin，所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin.单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan，其周长为12ntan，所以2π＝＝6n，则π＝3n.故选A. 三、模拟小题 15．(2023·福建泉州月考)若A＝{θ|θ＝k·360°，k∈Z}，B＝{θ|θ＝k·180°，k∈Z}，C＝{θ|θ＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是(　　) A．A＝B＝C B．A⊆B⊆C C．A⊆B＝C D．C⊆B⊆A 答案　B 解析　集合A的元素表示终边落在x轴非负半轴上的所有角，集合B的元素表示终边落在x轴上的所有角，集合C的元素表示终边落在x轴和y轴上的所有角．故选B. 16．(2023·安徽滁州金阳光高级中学月考)在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为sin＝，cos＝－，所以角α的终边经过点，所以角α是第四象限角，tanα＝＝－，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，则角α的最小正值为.故选D. 17．(2023·河南部分学校高三仿真适应测试)已知α是第二象限角，则点(cos(sinα)，sin(cosα))所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　因为α是第二象限角，所以0<sinα<1，－1<cosα<0，所以cos(sinα)>0，sin(cosα)<0，所以点(cos(sinα)，sin(cosα))在第四象限．故选D. 18．(2023·福州一中高三三模)为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离．如图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进(车身始终保持与地面垂直)，直到前轮与点B接触．经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方(以如图为观察视角)，且到地面的垂直高度为0.45 m．已知前轮的半径为0.3 m，则A，B两点之间的距离约为(参考数值：π≈3.14)(　　) A．20.10 m B．19.94 m C．19.63 m D．19.47 m 答案　D 解析　由题意知，前轮转动了圈，所以A，B两点之间的距离为×2π×0.3＝6.2π≈6.2×3.14≈19.47 m. 19.(2023·江苏盐城市伍佑中学高三月考)如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的弧度为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的弧度为2π×＝.故选D. 20．(2024·吉林长春博硕学校开学考试)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外弧长为3.2 m，内弧长为0.8 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(　　) A．1.2 m2 B．1.8 m2 C．2.4 m2 D．3.0 m2 答案　C 解析　设扇形的圆心角为α(α>0)，内环半径为r m，外环半径为R m，则R－r＝1.2.由扇环外弧长为3.2 m，内弧长为0.8 m，可得可得α(R＋r)＝4，所以扇环需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝α(R2－r2)＝α(R＋r)(R－r)＝×4×1.2＝2.4 m2.故选C. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$