单元质量测试(三) 平面向量、复数-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 单元质量测试(三) 时间：45分钟　满分：100分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2024·辽宁名校联盟开学联考)已知z＝，则＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　C 解析　z＝＝＝－1－i，所以＝－1＋i.故选C. 2．(2023·辽宁沈阳高三年级质量监测)已知i是虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　z＝＝＝，复数z在复平面内对应的点在第一象限．故选A. 3．(2024·湖南永州高三一模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，－1)，c＝(x，1)，且(a＋2b)⊥c，则x＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 答案　C 解析　a＋2b＝(－1，2)＋(6，－2)＝(5，0)，由于(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝5x＝0，x＝0.故选C. 4．若复数z＝(7－ai)(1＋i)为纯虚数，则实数a＝(　　) A．－7 B．－5 C．7 D．5 答案　A 解析　∵z＝(7－ai)(1＋i)＝7＋7i－ai－ai2＝7＋a＋(7－a)i，又复数z为纯虚数，∴解得a＝－7.故选A. 5．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则＝(　　) A．－＋ B.＋ C．－－ D.－ 答案　D 解析　由题意，得＋＋＝0，∴＋(－)＋(－)＝0，∴＋(－)＋(－－)＝0，∴3＋＋－＝0，∴3＝2－，∴＝－.故选D. 6．(2023·山东泰安肥城模拟)已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　易知BC＝4AD，CE＝2AD，AD∥CE，所以△ADM∽△ECM，所以＝＝，所以＝，所以＝－＝－＝(＋)－＝(＋6)－＝－＋2，所以x＝－，y＝2，x＋y＝－＋2＝.故选C. 7．(2023·江苏南京江宁高级中学质检)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.因为c＝a＋b，所以|c|＝|a＋b|＝＝＝3，所以cos〈a，c〉＝＝＝＝，所以sin〈a，c〉＝＝.故选B. 8.(2024·重庆巴南区高三第一次诊断考试)如图所示，正方形ABCD的边长为2，E，F，G分别是边BC，CD，AD的中点，点P是线段EF上的动点，则·的最小值为(　　) A. B．3 C. D．48 答案　A 解析　如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，G(0，1)，E(2，1)，F(1，2)，设P(x，y)，＝λ(λ∈[0，1])，则(x－1，y－2)＝λ(1，－1)，所以所以x－1＝－(y－2)，即y＝3－x，所以＝(x，y－1)，＝(x，y)，所以·＝x2＋y(y－1)＝x2＋(3－x)(2－x)＝2x2－5x＋6＝2＋，又x＝1＋λ∈[1，2]，所以当x＝时，·取得最小值，为.故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数z＝(1－i)(a＋i)(a∈R)，则(　　) A．若a＝2，则z＝3－i B．若a＝2，则|z|＝10 C．若z为纯虚数，则a＝－1 D．若z＋|z|＝x＋5i(x∈R)，则a＝4 答案　AC 解析　若a＝2，则z＝3－i，|z|＝，A正确，B错误；z＝(1－i)(a＋i)＝1＋a＋(1－a)i，若z为纯虚数，则1＋a＝0且1－a≠0，解得a＝－1，C正确；z＋|z|＝1＋a＋(1－a)i＋＝x＋5i，则1－a＝5，解得a＝－4，D错误．故选AC. 10.如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)．以下结论中正确的是(　　) A．当x＝0时，y∈[2，3] B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝ C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．x－y的最大值为－1 答案　BCD 解析　当＝y时，根据共线向量的充要条件得P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，＝＋＝3＋(＋)＝3＋(－2＋)＝2＋(－)＝－＋，所以x＝－，y＝，故B正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是线段BC，故C正确；当P与B重合时，x－y能取得最大值，此时x＝0，y＝1，x－y＝－1，故D正确．故选BCD. 11．(2023·山东济南高三联考)已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B.＝＋ C.·>0 D．S＝4 答案　BD 解析　由＋2＝0，＝2，可知点P为AC上靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示．对于A，P为AC上靠近点C的三等分点，B为AQ的中点，所以与不平行，故A错误；对于B，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故B正确；对于C，·＝||||cosπ＝－||||<0，故C错误；对于D，设△ABC的边AB上的高为h，S△ABC＝|AB|h＝3，即|AB|h＝6，则S＝|AQ|·h＝·2|AB|·h＝×6＝4，故D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．(2023·海南第五次模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|a－2b|＝2，|a＋b|＝，则|b|＝________． 答案　1 解析　由条件得(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝4，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝7，联立消去a·b得a2＋2b2＝6，又|a|＝2，解得|b|＝1. 13．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且z(1＋i3)＝2＋i，则a＋b＝________． 答案　2 解析　由z(1＋i3)＝2＋i得z＝＝＝＝＝＋i，而z＝a＋bi(a，b∈R)，所以a＝，b＝，即a＋b＝2. 14．(2024·湖南长沙周南中学高三阶段测试)在△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，则·的取值范围是________． 答案　[－22，30] 解析　以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(0，0)，B(12，0)，A(0，5)，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，点P在以C为圆心，2为半径的圆上，设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈[0，2π)，则＝(－2cosθ，5－2sinθ)，＝(12－2cosθ，－2sinθ)，·＝(12－2cosθ)·(－2cosθ)＋(－2sinθ)(5－2sinθ)＝－24cosθ＋4cos2θ－10sinθ＋4sin2θ＝4－26sin(θ＋φ)，其中tanφ＝，因为sin(θ＋φ)∈[－1，1]，所以·的取值范围是[－22，30]． 四、解答题(本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知A(1，2)，B(a，1)，C(2，3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面内的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2. (1)若z1＋z2＝1＋i，求z1，z2； (2)若|z1＋z2|＝2，z1－z2为实数，求a，b的值． 解　(1)∵＝(a，1)－(1，2)＝(a－1，－1)，＝(－1，b)－(2，3)＝(－3，b－3)， ∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i， ∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i， 又z1＋z2＝1＋i，∴∴ ∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i. (2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i， ∵|z1＋z2|＝2，z1－z2为实数， ∴∴ 16．(2024·山东潍坊一中高三期中)(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋. (1)求的值； (2)已知A(1，cosx)，B(1＋cosx，cosx)，x∈，f(x)＝·－||.若f(x)的最小值为g(m)，求g(m)的最大值． 解　(1)由题意知A，B，C三点满足＝＋， 可得－＝(－)， 所以＝＝(＋)， 即＝，即＝2， 则||＝2||， 所以＝2. (2)由题意，得＝(1，cosx)，＝(1＋cosx，cosx)， ＝＋＝， ＝－＝(cosx，0)， 所以函数f(x)＝·－||＝1＋cosx＋cos2x－cosx＝(cosx－m)2＋1－m2. 因为x∈，所以cosx∈[0，1]， 当m<0时，当cosx＝0时，f(x)取得最小值g(m)＝1， 当0≤m≤1时，当cosx＝m时， f(x)取得最小值g(m)＝1－m2， 当m>1时，当cosx＝1时，f(x)取得最小值g(m)＝2－2m， 综上所述，g(m)＝ 可得g(m)的最大值为1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$