考点测试18 平面向量的数量积及应用-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试18　平面向量的数量积及应用 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度 考点 研读 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义 2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 一、基础小题 1．若单位向量e1，e2的夹角为60°，a＝λe1－e2，且|a|＝，则实数λ＝(　　) A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1 答案　D 解析　由于|a|＝，所以a2＝3，即(λe1－e2)2＝3，λ2e－2λe1·e2＋e＝λ2－2λcos60°＋1＝3，即λ2－λ－2＝0，解得λ＝2或λ＝－1.故选D. 2．设向量a，b的夹角的余弦值为－，|a|＝4，|b|＝1，则(2a＋3b)·b＝(　　) A．－1 B．1 C．－5 D．5 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为－，即cosθ＝－，又|a|＝4，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cosθ＝4×1×＝－1，所以(2a＋3b)·b＝2a·b＋3b2＝－2＋3＝1.故选B. 3．已知平面向量a，b满足|a|＝2，b＝(1，1)，|a＋b|＝，则a在b上的投影向量的坐标为(　　) A. B．(1，1) C．(－1，－1) D. 答案　B 解析　|a＋b|＝＝＝，|b|＝＝，所以a·b＝2，所以a在b上的投影向量为·＝b＝(1，1)．故选B. 4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，所以(－)·(＋)＝||2－||2＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选A. 5．已知△ABC外接圆O的半径为1(O为圆心)，且2＋＋＝0，||＝2||，则·＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵△ABC外接圆O的半径为1(O为圆心)，2＋＋＝0，∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．又||＝2||，∴||＝，||＝2，∴||＝＝，∴·＝－·＝－||2＝－.故选A. 6．(多选)已知向量a＝(4，3－m)，b＝(1，m)，则下列说法正确的是(　　) A．若a⊥b，则m＝4 B．若m＝，则a∥b C．|a＋2b|的最小值为6 D．若a与b的夹角为钝角，则m<－1或m>4 答案　BCD 解析　对于A，∵a⊥b，∴4×1＋m(3－m)＝0，解得m＝4或m＝－1，故A错误；对于B，由题意可知a＝，b＝，即a＝4b，则有a∥b，故B正确；对于C，由a＝(4，3－m)，b＝(1，m)，得a＋2b＝(6，3＋m)，则|a＋2b|＝，显然当m＝－3时，|a＋2b|取得最小值6，故C正确；对于D，若a与b的夹角为钝角，则解得m<－1或m>4，故D正确．故选BCD. 7．已知向量a，b满足(a－b)⊥b，且|a|＝2|b|＝1，则a与b的夹角为________． 答案　 解析　设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝cosθ－＝0，解得cosθ＝，又0≤θ≤π，则θ＝. 8.如图，在△ABC中，BC＝·＝3，点P为边BC上的一动点，则·的最小值为________． 答案　－1 解析　由题意，设＝λ，λ∈[0，1]，所以＝＋＝－＋＝－λ＋，＝(1－λ).又BC＝3，·＝3，所以·＝(－λ＋)·(1－λ)＝－λ(1－λ)2＋(1－λ)·＝9(λ2－λ)＋3(1－λ)＝9λ2－12λ＋3＝9－1，当λ＝时，·取得最小值－1. 二、高考小题 9．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案　D 解析　因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 10．(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0. 如图，设＝a，＝b，＝c，由题意知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝OC＋OD＝＋＝，tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos(2∠ACD)＝2cos2∠ACD－1＝2×－1＝.故选D. 11．(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1＋ D．2＋ 答案　A 解析　如图所示，|OA|＝1，|PO|＝，则由题意可知∠APO＝，由勾股定理可得|PA|＝1，设射线PO绕点P按逆时针旋转θ后与射线PD重合，则－＜θ＜，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cosθ.所以·＝||||cos＝cosθcos＝cosθ＝cos2θ－sinθcosθ＝＋cos2θ－sin2θ＝＋cos≤＋.故选A. 12．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 答案　C 解析　c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C. 13．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，得a·b＝1.故选C. 14．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 答案　 解析　解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. 解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. 15．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 答案　11 解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cosθ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cosθ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 三、模拟小题 16．(2023·陕西榆林三模)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，－＝，则a·b＝(　　) A．3 B. C. D．5 答案　A 解析　∵－＝，∴a－b＝，∴＝1，∴|a|2－a·b＋|b|2＝1，即2－a·b＝1，解得a·b＝3.故选A. 17．(2023·云南三校高三第五次联考)已知向量a，b满足|a|＝2，b＝(1，)，且(a＋2b)⊥a，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵b＝(1，)，∴|b|＝＝2.∵(a＋2b)⊥a，∴(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝0，则a·b＝－2，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为.故选C. 18．(2023·吉林长春东北师大附中高三模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝2，b＝(3，1)，且|a－b|＝，则(b－a)·(2b＋a)＝(　　) A．10 B．14 C. D. 答案　B 解析　由已知可得|b|＝＝，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝10，所以4＋10－2a·b＝10，所以a·b＝2，所以(b－a)·(2b＋a)＝2b2－a·b－a2＝20－2－4＝14.故选B. 19．(2024·河北邯郸第二中学开学考试)在△ABC中，cosA＝，AB＝2，AC＝3，D是线段BC上靠近C的一个三等分点，则·＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　由题意，得＝＝(－)＝－＋，＝＋＝－＋＝＋，∴·＝·＝－||2＋||2－·＝－×4＋×9－||||cos∠BAC＝－＋4－×2×3×＝.故选A. 20．(多选)(2024·江苏徐州高三开学考试)已知平面向量a＝(2，1)，b＝(t，t－3)，则(　　) A．若t＝6，则a∥b B．若t>1，则a与b的夹角为锐角 C．若c为任意非零向量，则存在实数t，使得a·c＝b·c D．若a在b上的投影向量为b，则t＝2或t＝ 答案　AD 解析　对于A，若a∥b，则2(t－3)＝t，解得t＝6，A正确；对于B，若a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a，b不共线，所以解得t>1且t≠6，B错误；对于C，设c＝(x，y)，其中x2＋y2>0，若存在t∈R，使得a·c＝b·c，则a·c－b·c＝(2x＋y)－[tx＋(t－3)y]＝(2x＋4y)－(x＋y)t＝0，令x＝－y＝1，此时2x＋4y≠0，该方程无解，若c＝(1，－1)，则不存在实数t，使得a·c＝b·c，C错误；对于D，若a在b上的投影向量为b，则a·b＝b2，即2t＋t－3＝[t2＋(t－3)2]，整理可得2t2－11t＋14＝0，解得t＝2或t＝，D正确．故选AD. 21．(2024·河北保定部分学校高三开学考试)已知向量a＝(1，－1)，b＝(0，2)，若(a－mb)⊥b，则m＝________． 答案　－ 解析　由(a－mb)⊥b，可得(a－mb)·b＝a·b－mb2＝0，则－2－4m＝0，解得m＝－. 22．(2024·河南南阳中学开学考试)在△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，P为BC边上的动点，则·的最小值为________． 答案　－ 解析　由于∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，所以以A为坐标原点，AC，AB所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，4)，C(3，0)，设＝λ＝λ(3，－4)＝(3λ，－4λ)，且λ∈[0，1]，所以＝－＝(0，－4)－(3λ，－4λ)＝(－3λ，－4＋4λ)，＝(－3λ，4λ)，则·＝(－3λ，－4＋4λ)·(－3λ，4λ)＝9λ2＋16λ2－16λ＝25λ2－16λ＝25－，∴当λ＝时，·取得最小值－. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$