单元质量测试(二) 函数、导数及其应用-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 单元质量测试(二) 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数f(x)＝则f(ln 2)＝(　　) A．2 B．3 C.＋1 D. 答案　B 解析　f(ln 2)＝f(1＋ln 2)＝f(2＋ln 2)＝f(3＋ln 2)＝3. 2．(2024·福建莆田第二中学高三模拟)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是(　　) A．y＝－1 B．y＝|ln x| C．y＝ D．y＝ 答案　D 解析　对于A，要使函数y＝－1有意义，则x－1≥0，解得x≥1，则该函数的定义域为[1，＋∞)，当x≥1时，≥0，则y＝－1≥－1，即该函数的值域为[－1，＋∞)，故A不满足题意；对于B，要使函数y＝|ln x|有意义，则真数x>0，故该函数的定义域为(0，＋∞)，又|ln x|≥0，即该函数的值域为[0，＋∞)，故B不满足题意；对于C，要使函数y＝有意义，则3x－1≠0，解得x≠0，故该函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为3>1，所以函数y＝3x－1为增函数，当x∈(－∞，0)时，－1<3x－1<0，此时y＝<－1，当x∈(0，＋∞)时，3x－1>0，此时y＝>0，即该函数的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故C不满足题意；对于D，要使函数y＝有意义，则x－1≠0，解得x≠1，故该函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，因为y＝＝＝1＋，显然≠0，即y≠1，则该函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故D满足题意．故选D. 3．(2024·河南周口、项城五校高三联考)函数f(x)＝的大致图象是(　　) 答案　A 解析　因为f(－x)＝＝＝f(x)，且该函数的定义域为{x|x≠0}，所以f(x)是偶函数，排除D；当x>0时，ex>1>e－x，即ex－e－x>0，此时f(x)>0，排除C；当x趋向＋∞时，3x，ex－e－x均趋向＋∞，但随着x的增大，ex－e－x的增速比3x快，所以f(x)趋向于0，排除B.故选A. 4．(2024·重庆渝北中学高三上学期月考)按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　根据题意，可得C＝20n·20，C＝30n·10，两式相比，得＝1，即＝，所以n＝log＝log2＝＝≈＝.故选B. 5．(2024·福建宁德高三第一次考试)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3，－1] C．(－∞，－1] D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) 答案　A 解析　在同一坐标系下，作出函数y＝－x2－2x与y＝x的图象，如图所示，当－x2－2x＝x时，x＝－3或x＝0.由图可知，当m≤－3时能满足函数f(x)在R上单调递增．故选A. 6．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，0]上的最大值为2，则它在R上的极大值为(　　) A．－5 B．－3 C．24 D．27 答案　D 解析　因为f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，所以f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，当－1<x<3时，f′(x)>0；当x>3或x<－1时，f′(x)<0，即f(x)在(－1，3)上单调递增，在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递减，所以当x＝－1时，函数取得极小值，当x＝3时，函数取得极大值，又f(0)＝a，f(－2)＝2＋a>a，所以2＋a＝2，解得a＝0，所以f(x)极大值＝f(3)＝27. 7．(2024·重庆第一中学高三上学期开学考试)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＋f(2－x)＝0，且当－2<x<0时，f(x)＝log3(2－x)，则f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　由f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，可得f(x)图象的对称中心为(2，0)，则f(x)＋f(4－x)＝0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，所以f(4－x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，又f(x＋2)＋f(2－x)＝0，令x＝0，则f(2)＝0，又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.因为当x∈(－2，0)时，f(x)＝log3(2－x)，所以f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝log33＝1，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0，f(2024)＝f(4×506)＝f(0)＝0，所以f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝1.故选C. 8．(2023·湖北恩施高三模拟)已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 答案　D 解析　构造f(x)＝(18－x)ln x，x≥8，则f′(x)＝－ln x＋－1，显然，f′(x)在[8，＋∞)上为减函数，且f′(8)＝－ln 8＋－1＝－ln 8<－ln e2＝－2<0，所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[8，＋∞)上恒成立，故f(x)＝(18－x)ln x在[8，＋∞)上单调递减，所以f(8)>f(9)>f(10)，即10ln 8>9ln 9>8ln 10，所以810>99>108，即a>b>c. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2024·河南洛阳等三地部分名校高三上学期开学联考)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)是奇函数 C．x＝0为f(x)的极小值点 D．若f(1)＝1，则f(2023)＝2023 答案　ABD 解析　令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，A正确；令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(x)是奇函数，B正确；f(x)是奇函数，x＝0不可能是f(x)的极小值点，C错误；令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)＋1，f(2023)＝f(2022)＋1＝f(2021)＋2＝f(2020)＋3＝…＝f(1)＋2022＝2023，D正确．故选ABD. 10．(2023·江苏泰州高三模拟)设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)为偶函数 B．当x∈[1，＋∞)时，f(x－2)≤f(x) C．当x∈R时，f(f(x))≤f(x) D．当x∈[－4，4]时，|f(x－2)|≥f(x) 答案　ABC 解析　在同一坐标系中画出函数y＝|x－2|，y＝x2，y＝|x＋2|的图象(如图所示)，故函数f(x)的图象为图中实线所示，f(x)的图象关于y轴对称，故函数f(x)为偶函数，故A正确；当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x－2)＝f(2－x)≤2－x＝f(x)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，f(x－2)≤x－2＝f(x)，当3<x≤4时，1<x－2≤2，f(x－2)＝2－(x－2)＝4－x＜x－2＝f(x)，当x＞4时，x－2＞2，此时f(x－2)<f(x)，故B正确；从图象上看，当x∈[0，＋∞)时，有f(x)≤x成立，令t＝f(x)，则t≥0，故f(t)≤t，即f(f(x))≤f(x)，故C正确；取x＝，则f＝f＝，f＝，|f(x－2)|<f(x)，故D不正确．故选ABC. 11．(2024·重庆市七校高三上学期开学考试)已知函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)满足[f′(x)－f(x)](x＋1)>0(x≠－1)，g(x)＝，则(　　) A．函数g(x)在(－∞，－1)上为增函数 B．x＝－1是函数g(x)的极小值点 C．函数g(x)必有2个零点 D．e2f(e)>eef(2) 答案　BD 解析　因为g(x)＝，所以g′(x)＝，当x<－1时，f′(x)－f(x)<0，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，－1)上为减函数，A错误；当x>－1时，f′(x)－f(x)>0，g′(x)>0，故g(x)在(－1，＋∞)上为增函数，故x＝－1是函数g(x)的极小值点，B正确；若g(－1)>0，则g(x)没有零点，C错误；因为g(x)在(－1，＋∞)上为增函数，所以g(2)<g(e)，即<，即e2f(e)>eef(2)，D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．(2024·广东广州执信中学高三上学期开学测试)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3－xf′(2)，则曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________． 答案　6x－y－16＝0 解析　对函数f(x)＝x3－xf′(2)求导，可得f′(x)＝3x2－f′(2)，所以f′(2)＝3×22－f′(2)，因而所求切线的斜率k＝f′(2)＝6，而f(2)＝23－2×f′(2)＝8－12＝－4，故所求切线方程为y＋4＝6(x－2)，即6x－y－16＝0. 13．(2024·广东四校高三联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式xf(x)<0的解集为________． 答案　(－4，0)∪(0，4) 解析　①当x>0时，f(x)＝x2－4x，xf(x)<0，即f(x)<0，即x2－4x<0，解得0<x<4；②当x＝0时，xf(x)＝0，不成立；③当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)＝－x2－4x，xf(x)<0，即f(x)>0，即－x2－4x>0，解得－4<x<0.综上所述，不等式xf(x)<0的解集为(－4，0)∪(0，4)． 14．(2023·陕西西安高三模拟)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值为________，若函数g(x)＝[f(x)]2＋tf(x)＋1(t∈R)有4个零点，则实数t的取值范围是________． 答案　0　 解析　当x≥0时，f(x)＝，f′(x)＝，当0<x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，即f(x)在[0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．作出f(x)在R上的图象，易得f(x)的最小值为0.设m＝f(x)，令h(m)＝m2＋tm＋1，设h(m)＝m2＋tm＋1的零点为m1，m2(m1>m2)，则g(x)＝[f(x)]2＋tf(x)＋1(t∈R)有4个零点，等价于y＝f(x)的图象与直线y＝m1，y＝m2的交点共有4个，函数y＝f(x)的图象与直线y＝m1，y＝m2的位置关系如图所示．由图可知，0＜m2＜＜m1，则h＜0，解得t＜－，即实数t的取值范围是. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax2－4x＋3，a∈R. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． 解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ x2－4x＋3， 令t＝－x2－4x＋3， 由于函数t＝－x2－4x＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3， 则f(x)＝， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有解得a＝1， 即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝log2(2－x)－log2(x＋2)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并加以证明； (3)若f(x)＜log2(ax)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)由得－2＜x＜2. 所以函数f(x)的定义域为(－2，2)． (2)f(x)为奇函数． 证明如下： 由(1)的结论可知f(x)的定义域关于原点对称， 又因为f(－x)＝log2(2＋x)－log2(－x＋2)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (3)由f(x)＝log2(2－x)－log2(x＋2)＜log2(ax)， 得h(x)＝ax2＋(2a＋1)x－2＞0在x∈上恒成立，又因为a＞0，h(x)图象的对称轴为直线x＝＜0， 所以h＝－＞0，得a＞. 所以实数a的取值范围为. 17．(2023·湖南岳阳高三模拟)(本小题满分15分)某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝x2＋x＋150万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，应购买多少台？ (2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？ 解　(1)由总成本p(x)＝x2＋x＋150万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1 ≥2＋1＝2. 当且仅当x＝，即x＝300时，等号成立． 所以若使每台机器人的平均成本最低，应购买300台． (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝ 当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9600m， 所以当m＝30时，日平均分拣量有最大值144000件． 当m>30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)． 所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件，则需要的人数为＝120. 所以日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%. 18．(2023·吉林长春高三模拟)(本小题满分17分)已知函数f(x)＝在x＝2处取到极值. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若不等式x2f(x)≥kx＋ln x＋1在x∈(0，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围． 解　(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝， 由f′(2)＝＝0，a≠0，得b＝， 由f(2)＝＝＝，得a＝1， 所以f′(x)＝， 又x≠0，由f′(x)>0，得x＞2； 由f′(x)<0，得x＜0或0＜x＜2. 故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，2)，单调递增区间是(2，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)＝，则不等式x2f(x)≥kx＋ln x＋1在x∈(0，＋∞)上恒成立等价于e－≥k在x∈(0，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝e－(x>0)， 则只需k≤g(x)min即可． g′(x)＝， 令h(x)＝x2e＋ln x(x>0)， 则h′(x)＝e＋>0. 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h＝－ln 2<0，h(1)＝>0， 所以存在唯一的x0∈，使得h(x0)＝0， 则g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增． 因为e＋ln x0＝0，所以e＝－ln x0，两边同时取自然对数，则有＋ln ＋ln x0＝ln (－ln x0)， 即＋ln ＝－ln x0＋ln (－ln x0)． 构造函数m(x)＝x＋ln x(x>0)， 则m′(x)＝1＋>0， 所以函数m(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又m＝m(－ln x0)，所以＝－ln x0， 即e＝. 所以g(x)min＝g(x0)＝e－＝－＝， 于是实数k的取值范围是. 19．(2023·山东济南高三模拟)(本小题满分17分)已知函数f(x)＝xln x－ax2－x，g(x)＝，a∈R. (1)讨论g(x)的单调性； (2)设f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，证明：xx2>e3.(e＝2.71828…为自然对数的底数) 解　(1)g(x)＝＝ln x－ax－1，g′(x)＝－a， ①当a≤0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a>0时，令g′(x)＝0，解得x＝， 当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减． 综上，当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，g(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：由题意知，f′(x)＝ln x－2ax，x1，x2是f′(x)＝0的两根， 即ln x1－2ax1＝0，ln x2－2ax2＝0， 得2a＝，(*) 要证xx2>e3，即证4ln x1＋ln x2>3， 即证4·2ax1＋2ax2>3， 把(*)式代入得(4x1＋x2)>3(x1<x2)， 所以应证ln <＝， 令t＝，0<t<1，即证h(t)＝ln t－<0(0<t<1)成立， 而h′(t)＝－＝＝>0， 所以h(t)在(0，1)上单调递增， 所以h(t)<ln 1－＝0， 所以命题得证． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$