考点测试15 导数的概念及运算-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试15　导数的概念及运算 高考 概览 本考点是高考的必考知识点，既可作为选择题、填空题独立考查，也可结合导数应用在解答题中综合考查，分值为5分、12分，中等难度 考点 研读 1.了解导数概念的实际背景 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义 3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数 一、基础小题 1．设f(x)是可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案　A 解析　 ＝－1，即f′(1)＝－1，由导数的几何意义知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1.故选A. 2．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D．e 答案　B 解析　由f(x)＝2xf′(e)＋ln x得f′(x)＝2f′(e)＋，当x＝e时，f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，所以f(x)＝－x＋ln x，f(e)＝－＋ln e＝－1. 3．曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1 答案　D 解析　因为y＝，所以y′＝＝，所以y′|x＝1＝＝－2，即y＝在点(1，－1)处的切线斜率为－2，故y＝在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选D. 4.函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(3)<f′(2) 答案　C 解析　从f(x)的图象可以看出，点B处切线的斜率大于直线AB的斜率，直线AB的斜率大于点A处切线的斜率，点A处切线的斜率大于0，根据导数的几何意义可得0<f′(3)<<f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)． 5．过点(－1，1)的直线l与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切，则直线l的斜率为(　　) A．3 B．－1 C．3或－1 D．不存在 答案　C 解析　因为f(x)＝x3－x2－2x＋1，所以f(－1)＝1，f′(x)＝3x2－2x－2，当(－1，1)为切点时，kl＝f′(－1)＝3；当(－1，1)不为切点时，设切点为(a，a3－a2－2a＋1)，a≠－1，所以kl＝f′(a)＝3a2－2a－2，所以切线方程为y－(a3－a2－2a＋1)＝(3a2－2a－2)(x－a)，又切线过点(－1，1)，所以1－(a3－a2－2a＋1)＝(3a2－2a－2)(－1－a)，即a3＋a2－a－1＝0，即(a＋1)(a2－1)＝0，解得a＝1或a＝－1(舍去)，所以切点为(1，－1)，所以kl＝＝－1.综上所述，直线l的斜率为3或－1. 6．已知函数f(x)＝－x3＋3x，则过点(－3，－9)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　因为f(x)＝－x3＋3x，所以f′(x)＝－3x2＋3，设切点为(a，－a3＋3a)，所以在切点(a，－a3＋3a)处的切线方程为y＝－3(a2－1)·(x－a)－a3＋3a，又点(－3，－9)在切线上，所以－9＝－3(a2－1)(－3－a)－a3＋3a，即－9＝3(a2－1)(3＋a)－a3＋3a，整理得2a3＋9a2＝0，解得a＝0或a＝－，所以过点(－3，－9)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为2. 7．(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．若f(x)＝sin(2x＋4)，则f′(x)＝－2cos(2x＋4) B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1 C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1 答案　CD 解析　若f(x)＝sin(2x＋4)，则f′(x)＝2cos(2x＋4)，A错误；若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，B错误；若f(x)＝，则f′(x)＝＝，C正确；若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1，D正确． 8．(多选)f(x)是定义在R上连续可导函数，其导函数为f′(x)，下列命题中正确的是(　　) A．若f(x)＝f(－x)，则f′(x)＝－f′(－x) B．若f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，则f(x)＝f(x＋T) C．若f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f′(x)的图象关于直线x＝a对称 D．若f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，f′(x＋2)的图象关于原点对称，则f(－1)＋f′(2)＝1 答案　ACD 解析　对于A，由f(x)＝f(－x)，根据导数的运算法则，可得f′(x)＝－f′(－x)，所以A正确；对于B，例如，函数f(x)＝x，可得f′(x)＝1，此时满足f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，但f(x)≠f(x＋T)，所以B错误；对于C，由f(x)的图象关于点(a，b)对称，可得f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，两边同时取导数，可得f′(a＋x)－f′(a－x)＝0，即f′(a＋x)＝f′(a－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝a对称，所以C正确；对于D，由f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，令x＝0，可得f(－1)＋f(－1)＝2，即f(－1)＝1，又由f′(x＋2)的图象关于原点对称，令x＝0，可得f′(2)＝0，所以f(－1)＋f′(2)＝1，所以D正确．故选ACD. 9．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________． 答案　4 解析　当直线x＋y＝0平移到与曲线y＝x＋相切的位置时，切点Q到直线x＋y＝0的距离即点P到直线x＋y＝0的距离的最小值，由y′＝1－＝－1，得x＝或x＝－(舍去)，y＝3，则切点Q(，3)，则切点Q到直线x＋y＝0的距离为＝4. 二、高考小题 10．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　C 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 11．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea 答案　D 解析　解法一：设切点坐标为(x0，y0)，y0>0，y′＝ex，则切线方程为y－b＝ex0(x－a)，由得e x0(1－x0＋a)＝b，则由题意知关于x0的方程e x0(1－x0＋a)＝b有两个不同的解．设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，当x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，当x<a时，a－x>0，所以f(x)>0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0<b<ea.故选D. 解法二：过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.故选D. 12．(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y＝和x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 答案　D 解析　设曲线y＝的切点为(x0，)，x0＞0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l的斜率k＝，直线l的方程为y－＝·(x－x0)，即x－2y＋x0＝0.由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，两边平方并整理得5x－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.故选D. 13．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 答案　BC 解析　因为f为偶函数，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f＝f，即f(－1)＝f(4)，故C正确；因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)＝f(3－x)，所以f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＝－g(3－x)，所以g(x)的图象关于点对称，所以g＝0，g(1)＝－g(2)，又g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，故A错误．故选BC. 14．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)e x0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 15．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 答案　y＝x　y＝－x 解析　当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，得y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝，得y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x. 16．(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________． ①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数． 答案　f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足) 解析　取f(x)＝x4，则f(x1x2)＝(x1x2)4＝xx＝f(x1)f(x2)，满足①；f′(x)＝4x3，当x>0时有f′(x)>0，满足②；f′(x)＝4x3的定义域为R，又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③. 三、模拟小题 17．(2023·广西南宁高三模拟)已知f(x)＝x3－在x＝1处的切线与直线l垂直，若直线l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为2，则直线l的方程为(　　) A．4x＋y－4＝0 B．4x－y－4＝0 C．x－4y－4＝0 D．x＋4y－4＝0 答案　D 解析　由f′(x)＝3x2＋，得f′(1)＝4，故直线l的斜率为－，令l：y＝－x＋m(m>0)，由题意知m·4m＝2，解得m＝1，故直线l的方程为x＋4y－4＝0. 18．(2023·重庆高三模拟)已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2－f′(1)x＋2，则f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 答案　A 解析　∵当x>0时，f′(x)＝2x－f′(1)，∴f′(1)＝2－f′(1)，解得f′(1)＝1，∴当x>0时，f(x)＝x2－x＋2；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋x＋2，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋x＋2，即x<0时，f(x)＝x2＋x＋2，则f′(x)＝2x＋1，∴f′(－2)＝－4＋1＝－3. 19．(2023·湖北黄冈高三模拟)已知a，b为正实数，直线y＝x－a与曲线y＝ln (x＋b)相切，则＋的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．13 答案　B 解析　设切点为(x0，y0)，y＝ln (x＋b)的导数为y′＝，由切线的方程y＝x－a可得切线的斜率为1，令＝1，x0＝1－b，则y0＝ln (1－b＋b)＝0，故切点为(1－b，0)，代入y＝x－a，得a＋b＝1，∵a，b为正实数，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝，b＝时，＋取得最小值9. 20.(多选)(2023·广东揭阳高三模拟)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′(V)为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1≤V2≤3，则下列结论正确的是(　　) A.< B．r′(1)>r′(2) C．r< D．存在V0∈(V1，V2)，使得r′(V0)＝ 答案　BD 解析　对于A，设tanα＝，tanθ＝，由图得α>θ，所以tanα>tanθ，所以>，所以A错误；对于B，由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得r′(1)>r′(2)，所以B正确；对于C，设V1＝0，V2＝3，则r＝r，＝，因为r－r(0)>r(3)－r，所以r>，所以C错误；对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′(V0)表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈(V1，V2)，所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C，所以D正确． 21．(多选)(2023·山东烟台高三模拟)已知函数f(x)＝ln x－x＋t，直线l：y＝－x＋ln 2＋2，点P(x0，f(x0))在函数y＝f(x)的图象上，则下列说法错误的是(　　) A．若直线l是曲线y＝f(x)的切线，则t＝－3 B．若直线l与曲线y＝f(x)无公共点，则t>－3 C．若t＝－2，则点P到直线l的最短距离为 D．若t＝－2，当点P到直线l的距离最短时，x0＝2 答案　ABC 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，若直线l是曲线y＝f(x)的切线，则f′(x)＝－⇒－1＝－⇒x＝2，代入y＝－x＋ln 2＋2得y＝1＋ln 2，∴f(2)＝1＋ln 2⇒ln 2－2＋t＝1＋ln 2⇒t＝3，故A错误；若t＝－2，当在点P处的切线平行于直线l时，点P到直线l的距离最短，则f′(x0)＝－⇒－1＝－⇒x0＝2，故D正确；此时f(2)＝ln 2－4，故P(2，ln 2－4)，点P到直线l：x＋2y－2ln 2－4＝0的距离为＝2，故C错误；设ln x－x＋t＝－x＋ln 2＋2⇒t＝－ln x＋ln 2＋2，令g(x)＝－ln x＋ln 2＋2，则g′(x)＝－＝，当x∈(0，2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)min＝g(2)＝3，又x→0时，g(x)→＋∞；x→＋∞时，g(x)→＋∞，∴若直线l与曲线y＝f(x)无公共点，则t＜3，故B错误． 22．(多选)(2024·福建漳州高三毕业班第一次教学质量检测)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的定义域也为R.若f(x＋2)＝－f(x)，且f(x－1)为奇函数，则(　　) A．f(1)＝0 B．f(2024)＝0 C．f′(x)＝－f′(－x) D．f′(x)＝f′(2026－x) 答案　ACD 解析　对于A，由f(x＋2)＝－f(x)，得f(1)＝f(－1＋2)＝－f(－1)，又f(x)是由f(x－1)向左平移1个单位得到的，且f(x－1)为奇函数，因此f(x)的对称中心为(－1，0)，即f(－1)＝0，因此f(1)＝－f(－1)＝0，故A正确；对于B，令f(x)＝cos，此时f(x)满足题意，但f(2024)＝cos(1012π)＝1≠0，故B错误；对于C，因为f(x)的对称中心为(－1，0)，所以f(x)＋f(－2－x)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－2－x)，所以f(x)关于直线x＝0对称，即f(x)＝f(－x)，两边对x求导，得f′(x)＝－f′(－x)，故C正确；对于D，由f(x)的对称中心为(－1，0)，即f(－1＋x)＝－f(－1－x)，两边对x求导，得f′(－1＋x)＝f′(－1－x)，又f′(x)＝－f′(－x)，所以f′(－1＋x)＝f′(－1－x)＝－f′(1＋x)，所以f′(－1＋x)＝－f′(1＋x)＝f′(3＋x)，故f′(x)的周期为4，因此f′(2026－x)＝f′(2－x)＝－f′(4－x)＝－f′(－x)，又f′(x)＝－f′(－x)，所以f′(x)＝f′(2026－x)，故D正确．故选ACD. 23．(2023·山东威海高三模拟)已知曲线C1：y＝ex＋x，C2：y＝－x2＋2x＋a(a>0)，若有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，则a＝________． 答案　1 解析　设l与C1相切于点P(x1，e x1＋x1)，与C2相切于点Q(x2，－x＋2x2＋a)，由C1：y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，则与C1相切于点P的切线方程为y－ex1－x1＝(e x1＋1)(x－x1)，即y＝(1＋ex1)x－x1ex1＋ex1.由C2：y＝－x2＋2x＋a，得y′＝－2x＋2，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋x－2x2－a＝(－2x2＋2)·(x－x2)，即y＝(2－2x2)x＋a＋x.因为两切线重合，所以1＋ex1＝2－2x2　①，ex1－x1ex1＝a＋x　②，由①得x2＝，代入②得，4(1－x1)ex1＝4a＋1－2ex1＋e2x1，化简得e2x1－6ex1＋4x1ex1＝－1－4a　③，因为有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，所以方程③只有一个实数解．令g(x)＝e2x－6ex＋4xex，则g′(x)＝2ex(ex－1)＋4xex，当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)min＝g(0)＝－5，当x→－∞时，g(x)<0，且g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，所以当－1－4a＝－5或－1－4a≥0，即a＝1或a≤－1(舍去)时，方程③只有一个实数解．综上，a＝1. 一、高考大题 1．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln (1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围． 解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln (1＋x)(x>－1)， 则f′(x)＝－×ln (1＋x)＋×， 据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. (2)由函数的解析式可得f′(x)＝ln (1＋x)＋(x>－1)， 满足题意时，f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立． 令ln (1＋x)＋≥0， 则－(1＋x)ln (1＋x)＋(x＋ax2)≥0， 令g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)，x≥0，原问题等价于g(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则g′(x)＝2ax－ln (1＋x)， 当a≤0时，由于2ax≤0，ln (1＋x)>0，故g′(x)<0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 此时g(x)<g(0)＝0，不符合题意； 令h(x)＝g′(x)＝2ax－ln (1＋x)，x≥0， 则h′(x)＝2a－， 当a≥，即2a≥1时，由于<1， 所以h′(x)>0，h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 即g′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以g′(x)>g′(0)＝0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝0，满足题意； 当0<a<时，由h′(x)＝2a－＝0可得x＝－1， 当x∈时，h′(x)<0，h(x)在区间上单调递减，即g′(x)单调递减， 注意到g′(0)＝0，故当x∈时， g′(x)<g′(0)＝0，g(x)单调递减， 由于g(0)＝0，故当x∈时， g(x)<g(0)＝0，不符合题意． 综上可知，a的取值范围是． 2．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线． (1)若x1＝－1，求a； (2)求a的取值范围． 解　(1)由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则曲线y＝f(x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2. 设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3. (2)f′(x)＝3x2－1，则曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为 y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)， 整理得y＝(3x－1)x－2x. 设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))， g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2， 则切线方程为y－(x＋a)＝2x2(x－x2)， 整理得y＝2x2x－x＋a. 则整理得a＝x－2x＝－2x＝x－2x－x＋. 令h(x)＝x4－2x3－x2＋， 则h′(x)＝9x3－6x2－3x＝3x(3x＋1)(x－1)， 令h′(x)＝0，得x＝－，0，1， 则x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x － 0 (0，1) 1 (1，＋∞) h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 单调递减 单调递增 单调递减 －1 单调递增 由上表知，当x＝－时，h(x)取极小值h＝， 当x＝1时，h(x)取极小值h(1)＝－1， 易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞， 所以h(x)的值域为[－1，＋∞)． 故a的取值范围为[－1，＋∞)． 二、模拟大题 3．(2024·辽宁名校联盟高三上学期联考)已知函数f(x)＝x3－x2－ax＋1，a∈R. (1)若∃x>0，f(x)<0，求a的取值范围； (2)设函数g(x)＝f(x)＋ax－1，h(x)＝x2＋bx，若斜率为1的直线与曲线y＝g(x)，y＝h(x)都相切，求b的值． 解　(1)由题意∃x>0，f(x)<0，得x3－x2－ax＋1<0， 即a>在x>0时有解． 设φ(x)＝，则φ′(x)＝2x－－1，易知φ′(1)＝0. 令m(x)＝2x－－1，则m′(x)＝2＋>0， 所以φ′(x)单调递增， 所以当x∈(0，1)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增． 所以φ(x)min＝φ(1)＝1，所以a>1. (2)由题意，得g(x)＝x3－x2， 所以g′(x)＝3x2－2x， 令g′(x)＝1，解得x1＝1，x2＝－， 所以直线与曲线y＝g(x)的两个切点坐标分别为(1，0)，， 所以切线方程分别为y＝x－1和y＝x＋. 令x－1＝x2＋bx，得x2＋(b－1)x＋1＝0， 令Δ1＝(b－1)2－4＝0，解得b＝3或b＝－1. 令x＋＝x2＋bx，得x2＋(b－1)x－＝0， 令Δ2＝(b－1)2＋＝0，无解． 经检验，直线与曲线y＝h(x)的两个切点坐标分别为(－1，－2)，(1，0)． 综上所述，b＝3或b＝－1. 4．(2024·江苏南通高三上学期期初质量监测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a>0)的极小值为－2，其导函数f′(x)的图象经过A(－1，0)，B(1，0)两点． (1)求f(x)的解析式； (2)若曲线y＝f(x)恰有三条过点P(1，m)的切线，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意可得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 因为a>0，且f′(x)的图象经过A(－1，0)，B(1，0)两点． 所以当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)在x＝1处取得极小值， 所以f(1)＝a＋b＋c＝－2， 又因为f′(－1)＝0，f′(1)＝0， 所以3a－2b＋c＝0，3a＋2b＋c＝0， 解方程组得 所以f(x)＝x3－3x. (2)设切点为(x0，y0)，则y0＝x－3x0， 因为f′(x)＝3x2－3，所以f′(x0)＝3x－3， 所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)·(x－x0)， 将P(1，m)代入上式，得2x－3x＋m＋3＝0. 因为曲线y＝f(x)恰有三条过点P(1，m)的切线， 所以方程2x3－3x2＋m＋3＝0有三个不同实数解． 记g(x)＝2x3－3x2＋m＋3， 则导函数g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)， 令g′(x)＝0，得x＝0或1， 则x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  极大值  极小值  所以g(x)的极大值为g(0)＝m＋3，极小值为g(1)＝m＋2， 所以解得－3<m<－2. 故实数m的取值范围是(－3，－2)． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$