考点测试14 函数的实际应用-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试14　函数的实际应用 高考 概览 高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考点 研读 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 一、基础小题 1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示正确的是(　　) 答案　B 解析　蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义选B. 2．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： x 3 9 27 81 y 2 3.1 4 5.2 以下函数中最符合变量y与x的对应关系的是(　　) A．y＝x＋2 B．y＝x2－4x＋5 C．y＝×2x－ D．y＝log3x＋1 答案　D 解析　由表中的数据可得，y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，而函数y＝×2x－，y＝x2－4x＋5在(3，＋∞)上的增大幅度越来越大；函数y＝x＋2呈线性增大，只有函数y＝log3x＋1与已知数据的增大趋势接近． 3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是(　　) A．560万元 B．420万元 C．350万元 D．320万元 答案　D 解析　设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，解得a＝320.故选D. 4.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是(　　) 答案　C 解析　由图可知该青花瓷上下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图象，只有先慢后快的趋势的C项符合．故选C. 5．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为S1，S2，…，Sn(单位：m2)，其相应的透射系数分别为τ1，τ2，…，τn，则组合墙的平均隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：＝，于是组合墙的平均隔声量(单位：dB)为R＝10lg .已知某墙的透射系数为，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为，面积为2 m2，则组合墙的平均隔声量为(　　) A．10 dB B．20 dB C．30 dB D．40 dB 答案　C 解析　由题意知组合墙的透射系数的平均值＝＝＝10－3，所以组合墙的平均隔声量R＝10lg ＝10lg ＝30 dB.故选C. 6．用32 m2的材料制作一个长方体形的无盖盒子，如果底面的宽规定为2 m，那么这个盒子的最大容积是(　　) A．36 m3 B．18 m3 C．16 m3 D．14 m3 答案　C 解析　如图，设长方体形无盖盒子底面的长为x(m)，高为h(m)，容积为V(m3)，则表面积为2x＋2xh＋4h＝32，∴h＝(0<x<16)，容积V＝2xh＝＝.令t＝x＋2(2<t<18)，则V＝＝40－2≤40－2×2＝16，当且仅当t＝6时取等号． 7．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02 ，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的平均变化率是－10ln 2，则p(60)＝(　　) A．150毫克/升 B．300毫克/升 C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升 答案　C 解析　因为当t∈[0，30]时，污染物数量的平均变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02 ，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)． 8．某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x＋1 C．y＝ D．y＝ 答案　B 解析　由题意知，x∈[10，1000]，符合公司要求的模型需同时满足：①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.对于y＝x，易知满足①，但当x>20时，y>5，不满足要求；对于y＝，易知满足①，因为>5，故当x≥4时，不满足要求；对于y＝，易知满足①，但当x>25时，y>5，不满足要求；对于y＝lg x＋1，易知满足①，当x∈[10，1000]时，2≤y≤4，满足②，再证明lg x＋1≤x·25%，即4lg x＋4－x≤0，设F(x)＝4lg x＋4－x，则F′(x)＝－1<0，x∈[10，1000]，所以F(x)为减函数，F(x)max＝F(10)＝4lg 10＋4－10＝－2<0，满足③.故选B. 9．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 答案　BC 解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，由nlg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4. 10.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则(　　) A．a＝3 B．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 C．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 答案　AD 解析　把点M的坐标代入y＝，得＝4，解得a＝3，A正确；易知当0≤t<1时，y＝4t，4×＝0.5，B错误；由于y＝令y≥0.125＝，得或解得≤t≤6，6－＝5，所以注射一次该药物治疗该病的有效时间长度为5小时，C错误，D正确． 11．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系：f(x)＝ 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%. 其中正确结论的序号是________(请写出所有正确结论的序号)． 答案　①② 解析　由函数的图象可知f(x)随着x的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝＋x-，则f(9)＝＋×9-＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝＋×26->，故③错误． 12．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________． 答案　 解析　设投资乙商品x万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元．则利润分别为Q＝(a＞0)，P＝，由题意得P＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立，则化简得a≥，在0≤x≤20时恒成立．①x＝0时，a为一切实数；②0＜x≤20时，分离参数得a≥，0＜x≤20时恒成立，所以a≥.综上，a≥，所以a的最小值为. 二、高考小题 13．(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 答案　D 解析　当T＝220，P＝1026时，lg P>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误；当T＝270，P＝128时，2<lg P<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误；当T＝300，P＝9987时，lg P与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T＝300时对应的是非超临界状态，故C错误；当T＝360，P＝729时，因为2<lg P<3，故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确．故选D. 14．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 答案　C 解析　将L＝4.9代入L＝5＋lg V，得lg V＝－0.1＝－，所以V＝10－＝≈≈0.8.故选C. 15．(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 答案　B 解析　因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8天．故选B. 16．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 答案　ACD 解析　解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lg ＝40，即lg ＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lg ，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg ≤40，即lg ≤2，可得≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 解法二：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010＞10p010，所以10－＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 17．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________． 答案　①②③ 解析　－表示区间端点连线的斜率的相反数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；在t2时刻，甲对应图象的切线的斜率比乙的小，所以切线的斜率的相反数比乙的大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间内的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，④错误． 三、模拟小题 18．(2024·江苏南京师范大学附属中学期中)搭载神州十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭，精准点火发射后约10分钟后，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量m(除燃料外，单位：kg)的函数关系是v＝2000ln .当火箭的最大速度为11.5 km/s时，约等于(参考数据：e5.75≈314)(　　) A．313 B．314 C．312 D．311 答案　A 解析　火箭的最大速度为11.5 km/s，即v＝11.5×1000＝11500 m/s，所以11500＝2000ln ，所以ln ＝＝＝5.75，即＝e5.75－1≈314－1＝313. 19．(2024·河南二十名校高三调研)设某批产品的产量为x(单位：万件)，总成本c(x)＝100＋13x(单位：万元)，销售单价p(x)＝－3(单位：元/件)．若该批产品全部售出，则总利润(总利润＝销售收入－总成本)最大时的产量为(　　) A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 答案　B 解析　总利润f(x)＝x－(100＋13x)＝732－－16(x＋2)≤732－2＝412，当且仅当＝16(x＋2)，即x＝8时，f(x)最大．故选B. 20．(2024·江苏南京高三上学期学情调研)新风机的工作原理是：从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为v0，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m.已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v(v>1)，室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为ρ(t)＝(1－λ)＋λe－vt，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，且t＝1时室内空气中颗粒物的浓度是t＝2时的倍，则v的值约为(参考数据：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986)(　　) A．1.3862 B．1.7917 C．2.1972 D．3.5834 答案　B 解析　由题意，得ρ(1)＝＋e－v，ρ(2)＝＋e－2v.因为ρ(1)＝ρ(2)，所以＋e－v＝，整理，得8e－v－12e－2v＝1.令e－v＝n，因为v>1，所以n＝e－v∈.则12n2－8n＋1＝0，解得n＝(舍去)或n＝.故e－v＝，解得v＝ln 6＝ln 2＋ln 3≈0.6931＋1.0986＝1.7917.故选B. 21．(多选)(2023·山东青岛高三模拟)某公司通过统计分析发现，工人的工作效率E与工作年限r(r>0)，劳累程度T(0<T<1)，劳动动机b(1<b<5)相关，并建立了数学模型E＝10－10T·b－0.14r.已知甲、乙为该公司的员工，则下列说法正确的是(　　) A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱 C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高 D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高 答案　BCD 解析　设甲与乙的工作效率为E1，E2，工作年限为r1，r2，劳累程度为T1，T2，劳动动机为b1，b2，对于A，r1＝r2，E1>E2，b1<b2，0<<1，∴E1－E2＝10(T2·b－T1·b)>0，T2·b>T1·b，>＝>1，∴T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；对于B，b1＝b2，E1>E2，r1<r2，∴E1－E2＝10(T2·b－T1·b)>0，T2·b>T1·b，∴>＝b>1，∴T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故B正确；对于C，T1＝T2，r1>r2，b1>b2，∴b>b>b，则E1－E2＝10－10T1·b－(10－10T2·b)＝10T1·(b－b)>0，∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，故C正确；对于D，b1＝b2，r1>r2，T1<T2，1<b<5，∴b>b>0，T2>T1>0，则E1－E2＝10－10T1·b－(10－10T2·b)＝10(T2·b－T1·b)>0，∴E1>E2，即甲比乙工作效率高，故D正确． 22．(2023·重庆南开中学模拟)浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩(1亩≈666.7平方米)的鱼塘，为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初，浮萍铺在水面上大约有1平方米，如果浮萍始终以最高效繁殖，大约________天后，浮萍可以铺满整个鱼塘．(不考虑草鱼对浮萍的损耗．结果四舍五入到整数，参考数据：lg 2≈0.3010) 答案　14 解析　由题意知，鱼塘面积共3×666.7≈2000平方米，浮萍n天后在水面上的面积大约有2平方米，故浮萍铺满整个鱼塘的天数n满足2＝2000，两边取对数化简有lg 2＝lg 2000＝lg 2＋3≈3.301，解得n≈13.7，故大约14天后，浮萍可以铺满整个鱼塘． 23．(2023·北京海淀高三模拟)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg，积分1分．若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换． ①当x＝10时，若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换________元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为________． 答案　①13　②36 解析　①若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130分，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13元．②设每个家庭每月产生的垃圾为t kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．若0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t×0.4＝0.136t恒成立；若t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t×0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$