考点测试13 函数与方程-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试13　函数与方程 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、高等难度 考点 研读 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 一、基础小题 1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　) 答案　C 解析　能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C. 2．函数f(x)＝ex＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 答案　C 解析　函数f(x)＝ex＋2x－6是R上的连续增函数，因为f(1)＝e－4＜0，f(2)＝e2－2＞0，可得f(1)f(2)＜0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)． 3．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D. 答案　D 解析　由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数根，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是. 4．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　依题意，当x>0时，作出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1的图象与x轴只有一个交点．综上，函数f(x)有3个零点． 5．已知直线y＝ax与函数f(x)＝的图象恰有3个公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．(，5) C．(，4) D．(，2) 答案　A 解析　 作出f(x)的图象如图所示．当a≤0时，直线y＝ax和函数f(x)的图象只有一个交点；当a＞0时，直线y＝ax和函数y＝2－的图象只有一个交点，则直线y＝ax和函数y＝x2＋1(x＞0)的图象有2个交点，即方程x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有2个实数根，则有解得a＞，即实数a的取值范围为(，＋∞)． 6．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋2＝0有4个不同的实根，则a的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(2，4] C．[2，3] D．(2，3] 答案　D 解析　如图，画出函数f(x)的图象，设f(x)＝t，结合图象知，当t<1或t>2时，f(x)＝t有且仅有1个实根；当1≤t≤2时f(x)＝t有2个实根．因此，问题转化为h(t)＝t2－at＋2在[1，2]内有两个不同的零点，从而有解得2<a≤3.故选D. 7．(多选)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，则关于x的方程f(x)＝k的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．当k＝1时，方程有一个实根 B．当k＞1时，方程有两个实根 C．当k＝0时，方程有一个实根 D．当k≥1时，方程有实根 答案　ABD 解析　方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的折线，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD. 8．(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1 答案　BCD 解析　画出函数f(x)的大致图象如右图，得出x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，则x3x4＝1，A不正确，B正确；由图可知1＜x4＜2，C正确；因为－2＜x1＜－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－x－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，所以x1x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，D正确．故选BCD. 9．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________． 答案　(－2，1) 解析　 函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2，1)． 10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)＋f(2－x)＝0，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2，则f(1)＝________；若g(x)＝f(x)－lg x，则函数g(x)的零点共有________个． 答案　0　5 解析　由f(x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0.由f(x)＋f(2－x)＝0，得f(2－x)＝－f(x)，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(2－x)＝f(－x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数，g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与y＝lg x图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，由图可知两函数的图象有5个交点，即函数g(x)的零点共有5个． 二、高考小题 11．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B. 12．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　C 解析　画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1.故选C. 13．(2023·天津高考)若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为________． 答案　(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞) 解析　解法一：当a＝1时，函数f(x)只有一个零点－1，不符合题意；当a＝0时，函数f(x)只有一个零点－1，不符合题意；当a＝－1时，函数f(x)有两个零点，分别为－1和－，符合题意．若a≠0且a≠±1，分以下两种情况：①当x2－ax＋1≥0时，f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|＝ax2－2x－(x2－ax＋1)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1＝(x＋1)[(a－1)x－1]，令f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x1＝－1，x2＝，且x1≠x2.又x1＝－1时，ax2－2x－(x2－ax＋1)＝a＋2－(x2－ax＋1)＝0，所以a＝(x2－ax＋1)－2，则x2－ax＋1≥0时，a≥－2且a≠0，a≠±1；x2＝时，ax2－2x－(x2－ax＋1)＝－－(x2－ax＋1)＝0，所以＝x2－ax＋1，则x2－ax＋1≥0时，a≤2且a≠0，a≠±1.②当x2－ax＋1<0时，f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|＝ax2－2x＋(x2－ax＋1)＝(a＋1)x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)[(a＋1)x－1]，令f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x3＝1，x4＝，且x3≠x4.同理，x3＝1时，x2－ax＋1<0，则a>2；x4＝时，x2－ax＋1<0，则a<－2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)． 解法二：当a＝0时，f(x)＝－2x－|x2＋1|＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2，令f(x)＝0，解得x＝－1，所以此时函数f(x)有且只有一个零点，所以a＝0不符合题意．令x2－ax＋1＝0，当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，x2－ax＋1≥0在R上恒成立，此时f(x)＝ax2－2x－(x2－ax＋1)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1.当a＝1时，f(x)＝－x－1，此时函数f(x)有且仅有一个零点，不符合题意；当a≠0且a≠1时，令f(x)＝0，解得x＝－1或x＝，此时方程f(x)＝0有两个不相等实根，即函数f(x)有且仅有两个零点，所以－2≤a≤2且a≠0，a≠1符合题意．当a>2时，令y3＝y1－y2＝ax2－2x－x2＋ax－1＝0，得(a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，解得x＝－1或x＝，所以函数y1＝ax2－2x和函数y2＝x2－ax＋1的图象有两个交点，当x<－1或x>时，y3>0，即y1>y2；当－1<x<时，y3<0，即y1<y2.函数y1＝ax2－2x的图象与x轴的交点分别为点(0，0)，，因为a>2，所以函数y2＝x2－ax＋1的图象与x轴有两个交点，设两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两根，不妨设x1<x2，则x1x2＝1，x1＋x2＝a>0，所以x2>1，0<x1<1.当x＝时，y2＝－a×＋1＝－1<0，即0<x1<<x2；当x＝时，y2＝－＋1＝<0，且<，所以0<x1<<<x2.据此在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝ax2－2x和y2＝x2－ax＋1的图象，如图1所示．由图1可以在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝ax2－2x和y＝|x2－ax＋1|的图象(如图2)，所以函数y＝|x2－ax＋1|在(x1，x2)内的图象与函数y1＝ax2－2x的图象有一个交点，当x<x1时，两函数图象还有一个交点，所以此时函数y＝|x2－ax＋1|和函数y1＝ax2－2x的图象有且仅有两个交点，即此时f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，所以a>2符合题意． 当a<－2时，在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝ax2－2x和y2＝x2－ax＋1的图象，如图3所示．同理可知x1<－1<<x2<，据此作出函数y＝|x2－ax＋1|的图象，如图4所示，所以函数y＝|x2－ax＋1|在(x1，x2)上的图象与函数y1＝ax2－2x的图象有一个交点，当x>x2时，两函数图象还有一个交点，所以此时函数y＝|x2－ax＋1|和函数y1＝ax2－2x的图象有且仅有两个交点，即此时f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，所以a<－2符合题意． 综上，a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)． 14．(2021·北京高考)已知函数f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k<0，使得f(x)有一个零点； ③∃k<0，使得f(x)有三个零点； ④∃k>0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是________． 答案　①②④ 解析　 对于①，当k＝0时，由f(x)＝|lg x|－2＝0，可得x＝或x＝100，①正确；对于②，考查直线y＝kx＋2与曲线y＝－lg x(0<x<1)相切于点P(t，－lg t)，对函数y＝－lg x求导得y′＝－，由题意可得解得所以存在k＝－lg e<0，使得f(x)只有一个零点，②正确；对于③，当直线y＝kx＋2过点(1，0)时，k＋2＝0，解得k＝－2，所以当－lg e<k<－2时，直线y＝kx＋2与曲线y＝－lg x(0<x<1)有两个交点，若函数f(x)有三个零点，则直线y＝kx＋2与曲线y＝－lg x(0<x<1)有两个交点，直线y＝kx＋2与曲线y＝lg x(x≥1)有一个交点，所以此不等式无解，因此，不存在k<0，使得函数f(x)有三个零点，③错误；对于④，考查直线y＝kx＋2与曲线y＝lg x(x>1)相切于点Q(m，lg m)，对函数y＝lg x求导得y′＝，由题意可得解得所以当0<k<时，函数f(x)有三个零点，④正确． 三、模拟小题 15．(2024·重庆渝北中学高三上学期月考)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－18) B．(5，＋∞) C．(5，18) D．(－18，－5) 答案　D 解析　由零点存在定理可知，若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，因为函数f(x)为增函数，所以只需满足f(2)f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以实数m的取值范围是(－18，－5)．故选D. 16．(2024·山东青岛高三期末)已知2a＝loga，3b＝logb，＝log2c，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 答案　B 解析　在同一坐标系中分别画出y＝2x，y＝3x，y＝，y＝log2x，y＝logx的图象，y＝2x与y＝logx的图象的交点的横坐标为a，y＝3x与y＝logx的图象的交点的横坐标为b，y＝与y＝log2x的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出，b＜a＜c. 17．(2024·湖北新高考联考协作体高三模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x)＋2)＋2的零点个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　令t＝f(x)＋2，所以g(x)的零点等价于f(t)与y＝－2的图象交点的横坐标t对应的x值，如图所示．由图可知，f(t)与y＝－2的图象有两个交点，横坐标t1＝－1，0＜t2＜1，当t1＝－1，即f(x)＝－3时，在(－∞，－1)，(－1，0)，上各有一个解；当0＜t2＜1，即－2＜f(x)＜－1时，在上有一个解．综上，g(x)的零点个数为4. 18．(多选)(2023·湖南岳阳二模)已知函数f(x)＝(λ∈R)，g(x)＝f(x)－m，则下列说法正确的是(　　) A．当λ＝0时，函数f(x)有3个零点 B．当λ＝2时，若函数g(x)有3个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln 2) C．若函数f(x)恰有2个零点，则λ∈[2，4) D．若存在实数m使得函数g(x)有3个零点，则λ∈(－∞，3) 答案　ABD 解析　对于A，当λ＝0时，f(x)＝令f(x)＝0，由ex－1＝0可得x＝0，由－x2＋6x－8＝0可得x＝2或x＝4，满足题设，故A正确；对于B，当λ＝2时，f(x)＝若g(x)有3个零点，即f(x)的图象与直线y＝m有3个交点，如图所示，则x2＋x3＝6，当ex－1＝1时，x＝ln 2，所以0<x1<ln 2，所以x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln 2)，故B正确；对于C，同B中分析的图象，在垂直于x轴的虚线x＝λ移动过程中，当λ∈(－∞，0)∪[2，4)时，f(x)恰有2个零点，故C错误；对于D，同C中分析，要使g(x)有3个零点，必有λ∈(－∞，3)，故D正确． 19．(多选)(2024·贵州贵阳第一中学高三上学期开学考试)已知函数f(x)＝ex＋x－2(e＝2.71828…为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋x－2，若f(a)＝g(b)＝0，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝2 B．a2＋b2<3 C．ea＋ln b>2 D．eb＋ln a>3 答案　ABD 解析　由题意，得ea＋a－2＝eln b＋ln b－2＝0，即f(a)＝f(ln b)＝0，而f(x)＝ex＋x－2在定义域上单调递增，故a＝ln b，所以ea＋ln b－2＝a＋b－2＝0，即ea＋ln b＝a＋b＝2，故A正确，C错误；由<e<，得f＝e－<0，f＝e－>0，故零点x＝a＝ln b∈，所以a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2<2×＋2＝<3，故B正确；又a∈，则eb＋ln a＝e2－a＋ln a>e2－a＋ln >e＋ln ＝－ln 3>－ln 3>4.4－ln 3，而4.4－ln 3－3＝1.4－ln 3＝ln ，显然e7>35，则e>3，故4.4－ln 3－3>0，综上，eb＋ln a>3，D正确．故选ABD. 20．(2024·湖北仙桃田家炳实验高级中学高三月考)设函数f(x)＝f(x)＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则(x3＋x4)x1＋的取值范围是________． 答案　 解析　 由|log2(x－1)|＝1，得x＝3或x＝.画出函数f(x)的图象如图所示，依题意f(x)＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则<x1<2<x2<3<x3<4<x4，x2－1＝，x2＝1＋＝，x3＋x4＝2×4＝8，(x3＋x4)x1＋＝2x1＋＝2x1－＋1，因为函数y＝2x－＋1在区间上单调递增，2×－＋1＝，2×2－＋1＝，所以2x1－＋1∈，即(x3＋x4)x1＋的取值范围是. 21．(2024·湖北仙桃田家炳实验高级中学高三月考)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 答案　(，2) 解析　 由f(x)＝f(x＋4)，可知函数y＝f(x)的周期是4，又该函数为偶函数，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，故当x∈[0，2]时，－x∈[－2，0]，f(x)＝f(－x)＝－1＝2x－1.由f(x)－loga(x＋2)＝0，得f(x)＝loga(x＋2)，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，当a>1时，在区间(－2，6]内要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有三个不同的实数根，则等价为函数y＝f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有三个不同的交点，则需满足即解得<a<2.因此实数a的取值范围是(，2)． 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$