考点测试11 对数与对数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试11　对数与对数函数 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度 考点 研读 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3．体会对数函数是一类重要的函数模型 4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数 一、基础小题 1．化简(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62的值为(　　) A．－log62 B．－log63 C．log63 D．－1 答案　A 解析　(log62)2＋log62·log63＋2log63－6 log62＝log62＋2log63－2＝log63－1＝－log62. 2．已知函数f(x)＝ln (－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　D 解析　设lg 2＝a，则lg ＝－lg 2＝－a，f(a)＋f(－a)＝ln (－3a)＋1＋ln (＋3a)＋1＝ln (1＋9a2－9a2)＋2＝ln 1＋2＝2，所以f(lg 2)＋f＝2.故选D. 3．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时 答案　B 解析　设经过x小时，血液中的酒精含量为y，则y＝0.3×(1－25%)x＝0.3×0.75x.由0.3×0.75x≤0.09，得0.75x≤0.3，则xlg 0.75≤lg 0.3.因为lg 0.75<0，则x≥＝≈＝＝4.184<4.2，所以此人在开车前至少要休息4.2小时．故选B. 4．已知a＝log6，b＝log7，c＝60.1，则(　　) A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 答案　B 解析　因为a＝log6＝log67＞log66＝，log6＜log66＝1，所以＜a＜1.又b＝log7＝log76＜log77＝，c＝60.1＞60＝1，所以b＜a＜c. 5．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) 答案　A 解析　函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝logax＋1，即函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数且过点(1，1)．故选A. 6．函数y＝log(2x－x2)的单调递减区间为(　　) A．(0，1] B．(0，2) C．(1，2) D．[0，2] 答案　A 解析　由不等式2x－x2>0，即x2－2x＝x(x－2)<0，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0，2)，令g(x)＝2x－x2，可得其图象开口向下，对称轴方程为x＝1，当x∈(0，1]时，函数g(x)单调递增，又由函数y＝logx在定义域上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝log(2x－x2)的单调递减区间为(0，1]．故选A. 7．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则(　　) A．R<P<Q B．P<Q<R C．Q<P<R D．P<R<Q 答案　B 解析　∵函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，a>b>1，∴lg a>lg b>0，由基本不等式可得P＝<(lg a＋lg b)＝Q，Q＝(lg a＋lg b)＝lg (ab)＝lg <lg ＝R，∴P<Q<R.故选B. 8．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[0，2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 答案　D 解析　由可得0≤x≤1，由可得x＞1.综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)． 9．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C.＝＋ D.＝－ 答案　AD 解析　由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则＝logM4，＝logM6，＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，∴＋＝，即＝－，去分母整理得，ab＋bc＝2ac.故选AD. 10．(多选)已知函数f(x)＝log(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的定义域是[－4，2] B．y＝f(x－1)是偶函数 C．f(x)在区间[－1，2)上是增函数 D．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 答案　BCD 解析　对于A，由题意可得函数f(x)＝log(2－x)－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]，由2－x＞0，x＋4＞0可得－4＜x＜2，故函数f(x)的定义域为(－4，2)，故A错误；对于B，y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]的定义域为(－3，3)，设g(x)＝－log2[(3－x)·(x＋3)]，所以g(－x)＝－log2[(3＋x)·(－x＋3)]＝g(x)，即y＝f(x－1)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)＝－log2[(2－x)(x＋4)]＝－log2(－x2－2x＋8)＝－log2[－(x＋1)2＋9]＝log[－(x＋1)2＋9]，令t＝－(x＋1)2＋9，可得y＝logt，因为当x∈[－1，2)时，t＝－(x＋1)2＋9是减函数，外层函数y＝logt也是减函数，所以函数f(x)在区间[－1，2)上是增函数，故C正确；对于D，f(－2－x)＝－log2[(x＋4)(2－x)]＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D正确． 11．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(log336)＝________． 答案　7 解析　由题意，得f(0)＋f(log336)＝2＋log22＋3log336－2＝2＋log22＋3log3＝2＋1＋＝7. 12．已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a＞0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________． 答案　1 解析　由题意得ln x∈[0，2]，当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，a＝＜2，与a≥2矛盾；当0＜a＜2时，f(x)＝f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．故a＝1. 二、高考小题 13．(2022·天津高考)化简(2log43＋log83)·(log32＋log92)的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案　B 解析　原式＝＝log23×log32＝2. 14．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a 答案　A 解析　由9m＝10可得m＝log910＝＞1，而lg 9·lg 11＜＝＜1＝(lg 10)2，所以＞，即m＞lg 11，所以a＝10m－11＞10lg 11－11＝0.又lg 8·lg 10＜＝<(lg 9)2，所以＞，即log89＞m，所以b＝8m－9＜8log89－9＝0.综上，a＞0＞b.故选A. 15．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 答案　C 解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C. 16．(2021·天津高考)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　) A．－1 B．lg 7 C．1 D．log710 答案　C 解析　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故选C. 17．(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) 答案　D 解析　由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D. 18．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2 答案　B 解析　设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)为增函数．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log2＝－1＜0，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b，所以A错误，B正确；f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2＞0，此时f(a)＞f(b2)，有a＞b2，当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1＜0，此时f(a)＜f(b2)，有a＜b2，所以C，D错误．故选B. 19．(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　∵a，b，c∈(0，1)，＝＝×＜×＝＝＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜.由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞.综上所述，a＜b＜c.故选A. 20．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________． 答案　－　ln 2 解析　因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以＝－1，解得a＝－，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． 三、模拟小题 21.(2024·广东四校高三联考)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b<0 B．ab<－1 C．0<ab<1 D．loga|b|>0 答案　C 解析　由图象可知，f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，结合函数图象可知0<b＋1<1，所以－1<b<0，因此a＋b>0，故A错误；由题意可得，－a<ab<0，又因为a>1，所以－a<－1，因此ab<－1不一定成立，故B错误；因为a－1<ab<a0，即<ab<1，且0<<1，所以0<ab<1，故C正确；因为0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D错误．故选C. 22．(2024·江苏南通海安高三上学期期初学业质量监测)设函数f(x)＝ln (2ax－x2)在(3，4)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，3] C．(2，3] D．[2，3] 答案　D 解析　因为y＝ln t在(0，＋∞)上单调递增，故t＝2ax－x2在(3，4)上单调递减，则a≤3，又由题意可得，t＝2ax－x2>0在(3，4)上恒成立，故8a－16≥0，解得a≥2，所以2≤a≤3.故选D. 23．(2023·湖南岳阳高三模拟)已知a＝log0.20.02，b＝log330，c＝ln 6，则(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 答案　C 解析　∵0.02＜0.04，∴a＞log0.20.04＝2，∵6＜e2，∴c＜ln e2＝2，∴c＜a，又a＝＝＝1＋，b＝＝＝1＋，∵lg 2＋lg 3＝lg 6＜1，∴1－lg 2＞lg 3，∴a＜b.综上所述，c<a<b.故选C. 24．(多选)(2023·河北唐山高三模拟)已知2x＝3y＝6，则下列不等关系错误的是(　　) A.＞2 B．xy＜4 C．x＋y＜4 D.＋＞ 答案　ABC 解析　由2x＝3y＝6，可得x＝log26，y＝log36，对于A，＝＝＝log23＜2，所以A错误；对于B，xy＝log26log36＝＞＝4，所以B错误；对于C，x＋y＝log26＋log36＝＋＝＝＞＝4，所以C错误；对于D，因为＋＝(log62)2＋(log63)2＝(log62＋log63)2－2log62×log63＞1－＝，故D正确． 25．(多选)(2023·山西太原高三模拟)下列说法中正确的是(　　) A．若2035x＝2049y，则x＝y＝0 B．若2x＜2x，则1＜x＜2 C．若10a＝2，lg 3＝b，则lg 12＝2a＋b D．若m＝log3，n＝log2，则mn＜m＋n＜0 答案　BCD 解析　 对于A，令2035x＝2049y＝t(t＞0)，则x＝log2035t，y＝log2049t，当且仅当t＝1时，x＝y＝0，当t≠1时，x≠y，故A错误；对于B，作出函数y＝2x，y＝2x的图象，又当x＝1时，21＝2×1，当x＝2时，22＝2×2，所以若2x＜2x，则1＜x＜2，故B正确；对于C，因为10a＝2，则a＝lg 2，故lg 12＝lg 3＋lg 4＝lg 3＋2lg 2＝2a＋b，故C正确；对于D，m＝log3<0，n＝log2>0，所以mn＜0，由＝＋＝log3＋log2＝log3，因为0＜log3＜1，所以0<＜1，所以mn＜m＋n＜0，故D正确．故选BCD. 26．(2023·辽宁沈阳高三模拟)已知函数f(x)＝若f(a2＋1)＝f(－6a)－f(3)，则实数a＝________． 答案　－1 解析　因为f(a2＋1)＝log2(a2＋1)，f(3)＝log23，所以f(－6a)＝log2(3a2＋3)＞0，因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，所以当x＜1时，f(x)＜21＋1－3＝0， 故即解得a＝－1. 27．(2024·广东茂名高三联考)已知函数f(x)＝lg (ax－3)的图象经过定点(2，0)，若k为正整数，那么使得不等式2f(x)>lg (kx2)在区间[3，4]上有解的k的最大值是________． 答案　1 解析　由已知，得f(2)＝lg (2a－3)＝0，则2a－3＝1，解得a＝2，故f(x)＝lg (2x－3)．由2f(x)>lg (kx2)，得lg (2x－3)2>lg (kx2)．因为x∈[3，4]，所以kx2<4x2－12x＋9，所以k<－＋4，令t＝∈，g(t)＝9t2－12t＋4，则函数g(t)在上单调递减，所以g(t)max＝g＝，故k<.因此正整数k的最大值为1. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$