考点测试10 指数与指数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试10　指数与指数函数 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中等难度 考点 研读 1.了解指数函数模型的实际背景 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 4．体会指数函数是一类重要的函数模型 一、基础小题 1．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　) A．18 B．21 C．24 D．27 答案　D 解析　因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 2.函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 答案　D 解析　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是f(x)＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.故选D. 3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a 答案　A 解析　∵a＝，b＝2×＝，又幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且>，∴>，即a>b.又c＝，指数函数y＝在定义域上单调递减，∴>，即b>c，故a>b>c. 4．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(mg/L)与时间t(h)的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的(　　) A．49% B．51% C．65.7% D．72.9% 答案　C 解析　依题意，前2小时过滤后剩余污染物的数量为70%N0，于是70%N0＝N0e－2k，解得e－2k＝0.7，因此前6小时过滤后剩余污染物的数量为N＝N0e－6k＝N0(e－2k)3＝N0×0.73＝0.343N0，所以前6小时共能过滤掉污染物的×100%＝65.7%.故选C. 5．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　) A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx) C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定 答案　A 解析　∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此可得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x)，∴f(3x)≥f(2x)．故选A. 6．若函数f(x)＝ax2＋2x＋3的值域是，则f(x)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞) 答案　A 解析　令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是，所以g(x)的值域是[2，＋∞)，因此有解得a＝1.所以g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝x2＋2x＋3，由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，y＝在R上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]． 7．已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)＞0的解集为(　　) A．(0，1) B．(－3，0) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案　C 解析　因为函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，且是R上的增函数，f(2x)＋f(x2－x)＞0⇔f(x2－x)＞f(－2x)，于是得x2－x＞－2x，解得x＜－1或x＞0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)． 8．(多选)设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是(　　) A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) B．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2) C.＞0 D．f＜ 答案　ACD 解析　因为2x1·2x2＝2x1＋x2，故A正确；因为2x1＋2x2≠2x1·x2，故B错误；函数f(x)＝2x在R上是增函数，若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)，则＞0，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，则＞0，故C正确；＝≥＝2＝f，又x1≠x2，所以f＜，故D正确．故选ACD. 9．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)的值域为(－1，1) D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0 答案　AC 解析　f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故A正确，B错误；设y＝，整理得3x＝，所以＞0，即＜0，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；因为∀x1，x2∈R，且x1≠x2，若＜0，则该函数为减函数，而f(x)＝＝1－为增函数，故D错误． 10．化简：2×(×)6＋()－4×－－×80.25＋(－2024)0＝________． 答案　214 解析　原式＝2×(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214. 11．若函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P(m，n)，则函数f(x)＝－＋1在[m，n]上的最小值是________． 答案　 解析　函数y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，2)，则m＝－1，n＝2，令t＝，则≤t≤2，故f(x)＝－＋1在[－1，2]上的最小值，即g(t)＝t2－t＋1＝＋在上的最小值，当t＝时，g(t)min＝，则函数f(x)＝－＋1在[m，n]上的最小值是. 二、高考小题 12．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　因为f(x)＝是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 13．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 14．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 答案　D 解析　解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数φ(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. 15．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案　A 解析　函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又＜2－＜＜1，所以f＜f＜f，所以b＞c＞a.故选A. 16．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 答案　C 解析　因为I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66.故选C. 三、模拟小题 17．(2024·湖北腾云联盟高三上学期月考)已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝为奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，即＝－，化简，得＝2x，所以a＝4.故选B. 18．(2024·山东临沂第十八中学高三第一次调研)若a＝()，b＝log3e，c＝ -，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 答案　B 解析　因为a＝()＝2>20＝1，c＝-＝e>2＝a，所以c>a>1，又b＝log3e<log33＝1，故c>a>b.故选B. 19．(2024·广东湛江第一中学高三模拟)已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1，x2，且x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B. C. D. 答案　D 解析　因为对任意的实数x1，x2，且x1≠x2，都有＞0成立，所以对任意的实数x1，x2，且x1≠x2，＜0，即函数f(x)是R上的减函数．因为f(x)＝ 令t＝，t＞，要使f(x)＝－a·＋－在(－∞，1)上单调递减，所以y＝t2－at－在上单调递增．另一方面，函数y＝(2－3a)x，x≥1为减函数，所以 解得≤a≤1，所以实数a的取值范围是. 20．(多选)(2024·广东高中毕业班第一次调研)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b 答案　ABD 解析　设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，则f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x都为增函数，作出两个函数的图象如图1，两个函数的图象有2个交点，分别为(0，1)，(1，5)．对于A，如图2，作直线y＝m(1<m<5)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点横坐标为a，b，且0<a<b<1，此时f(a)＝g(b)＝m，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故A正确；对于B，如图3，作直线y＝n(n<0)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点横坐标为a，b，且b<a<0，此时f(a)＝g(b)＝n，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故B正确；对于C，由两个函数的图象可知，若1<a<b，则g(b)>f(b)>f(a)，所以此时2a＋3a＝3b＋2b不可能成立，故C不正确；对于D，a＝b＝0或a＝b＝1，2a＋3a＝3b＋2b成立，故D正确．故选ABD.] 21．(多选)(2024·福建厦门第一中学高三模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x，则下列说法正确的是(　　) A．g(0)＝1 B．g(x)在[0，1]上单调递减 C．g(x－1102)的图象关于直线x＝1102对称 D．g(x)的最小值为1 答案　ACD 解析　由题意，将－x代入f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x得f(－x)＋g(－x)＝2024－x－sin(－x)－25(－x)，因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得－f(x)＋g(x)＝2024－x＋sinx＋25x，将该式与题干中原式联立可得g(x)＝.对于A，g(0)＝＝1，故A正确；对于B，因为g(0)＝1，g(1)＝＞1，所以g(x)不可能在[0，1]上单调递减，故B错误；对于C，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，g(x－1102)的图象是由g(x)的图象向右平移1102个单位得到的，故g(x－1102)的图象关于直线x＝1102对称，故C正确；对于D，根据基本不等式g(x)＝≥1，当且仅当x＝0时取等号，故D正确． 22．(2024·山东烟台高三开学考试)设函数f(x)＝若f(1)是函数f(x)的最大值，则实数a的取值范围为________． 答案　[1，2] 解析　因为f(x)＝当x＞1时，f(x)＝－x＋1单调递减且f(x)＜；当x≤1时，f(x)＝2－|x－a|＝，可得当x＞a时函数f(x)单调递减，当x＜a时函数f(x)单调递增，若a＜1，x≤1，则f(x)在x＝a处取得最大值，不符合题意；若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取得最大值，且≥，解得1≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围是[1，2]． 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$