考点测试9 幂函数与二次函数-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试9　幂函数与二次函数 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考点 研读 1.了解幂函数的概念 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，了解它们的变化情况 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 一、基础小题 1．已知幂函数y＝(m2－3)xm2＋m－3在(0，＋∞)上单调递增，则实数m＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 答案　B 解析　由题意，得解得m＝2.故选B. 2．若(m＋1)－1＜(3－2m)－1，则实数m的取值范围为(　　) A. B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪ D．∅ 答案　C 解析　因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以由(m＋1)－1＜(3－2m)－1可得或或解得＜m＜或m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪. 3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．b<c<a 答案　A 解析　因为a＝＝<1，b＝>1，c＝＝<1，又0<<<<1，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以c＝<＝a.综上可得，c<a<b.故选A. 4.已知幂函数y＝x(p，p∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且＞0 B．q为偶数，p为奇数，且＜0 C．q为奇数，p为偶数，且＞0 D．q为奇数，p为偶数，且＜0 答案　D 解析　因为函数y＝x的图象关于y轴对称，于是得函数y＝x为偶函数，即p为偶数，又函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有＜0，又p，q互质，则q为奇数．故选D. 5．函数y＝ln 的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－1，0)∪(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．[－1，1) 答案　A 解析　由函数y＝ln 的值域为R，可得真数部分y＝取到所有的正数，即函数y＝x2＋ax＋1取到所有的正数，所以(0，＋∞)是函数y＝x2＋ax＋1的值域的子集，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 6．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上单调递增，则实数k的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2) 答案　A 解析　二次函数y＝kx2－4x＋2的图象的对称轴为直线x＝，当k>0时，要使y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.当k<0时，<0，此时二次函数图象的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上单调递减，不符合要求．综上可得，实数k的取值范围是[2，＋∞)． 7．(多选)已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的是(　　) A．f(－32)＝ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 答案　ACD 解析　由幂函数f(x)＝xm，知m＋＝1，∴m＝－，∴f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B错误；f(－32)＝(－32)－＝，故A正确；f(x)＝x－＝，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故C正确；∵f(x)＝x－，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，∴解得－1≤x＜1或1＜x≤3，故D正确．故选ACD. 8．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小值为－4 B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．函数f(|x|)为偶函数 D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4 答案　ACD 解析　二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故A正确；二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B错误；f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的根转化为y＝h(x)的图象与直线y＝a的交点，作出h(x)的图象如图所示，图象关于直线x＝1对称，当y＝h(x)的图象与直线y＝a有四个交点时，两两分别关于直线x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D正确．故选ACD. 9．(多选)已知函数f(x)的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|＋ 答案　BCD 解析　对于A，因为f(x)＝＝＝－1＋，且≠0，所以f(x)≠－1，所以|f(x)|∈[0，＋∞)，故不存在正数M，使得|f(x)|≤M成立；对于B，令u＝1－x2，则u∈[0，1]，f(x)＝，所以f(x)∈[0，1]，故存在正数1，使得|f(x)|≤1成立；对于C，令u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，易得u≥1，则f(x)＝，所以0<f(x)≤＝5，即f(x)∈(0，5]，故存在正数5，使得|f(x)|≤5成立；对于D，令t＝，则t∈[0，2]，|x|＝4－t2，则f(x)＝－t2＋t＋4＝－＋(t∈[0，2])，易得2≤f(x)≤，所以|f(x)|∈，故存在正数，使得|f(x)|≤成立．故选BCD. 10．已知函数f(x)＝x2－2x在定义域[－1，n]上的值域为[－1，3]，则实数n的取值范围为________． 答案　[1，3] 解析　函数f(x)＝x2－2x图象的对称轴方程为x＝1，在[－1，1]上为减函数，且值域为[－1，3]，当x≥1时，函数f(x)为增函数，且f(3)＝3，∴要使函数f(x)＝x2－2x在定义域[－1，n]上的值域为[－1，3]，则实数n的取值范围是[1，3]． 二、高考小题 11．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x B．y＝2－x C．y＝logx D．y＝ 答案　A 解析　y＝x＝，y＝2－x＝，y＝logx，y＝的图象如图所示．由图象知，只有y＝x在(0，＋∞)上单调递增．故选A. 12．(2019·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)，∴当x∈(0，1]时，f(x)∈；∵f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1，0]时，x＋1∈(0，1]，f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x，f(x)∈；当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1，0]，f(x)＝f(x＋1)＝(x＋2)(x＋1)，f(x)∈；…；当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈；当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1，0]；….f(x)的图象如图所示． 若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，设f(m)＝－，则4(m－2)(m－3)＝－，∴m＝或m＝.结合图象可知，当m≤时，符合题意．故选B. 三、模拟小题 13．(2023·湖北武汉高三模拟)若a＞b，则(　　) A.＞ B.＞ C.＞ D．a3＞b3 答案　D 解析　取a＝2，b＝1，显然＜，A错误；＜，B错误；若a<0，b＜0，，无意义，C错误；若a＞b，则a3＞b3，D正确． 14．(2024·重庆市七校高三上学期开学考试)已知函数f(x)＝4x＋a·2x在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4] C．[－8，＋∞) D．(－∞，－8] 答案　C 解析　设t＝2x，则函数t＝2x在[2，＋∞)上单调递增，且t≥4，因为f(x)＝4x＋a·2x在[2，＋∞)上单调递增，所以函数y＝t2＋at在[4，＋∞)上单调递增，又因为函数y＝t2＋at的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为t＝－，可得函数y＝t2＋at的单调递增区间为，由[4，＋∞)⊆，得－≤4，解得a≥－8.故选C. 15．(2023·河北石家庄二中模拟)设a∈R，函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，2] B．[1，3] C．[0，2] D．[2，3] 答案　A 解析　当x＞1时，x＋－3a≥2－3a＝12－3a，当且仅当x＝，即x＝6时，等号成立，即当x＞1时，函数f(x)的最小值为12－3a，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋9＝(x－a)2＋9－a2，要使得函数f(x)的最小值为f(1)，则满足解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1，2]． 16．(2023·江苏南通高三质量监测)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋5，若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，3] B．[1，2] C．[－1，3] D．[2，＋∞) 答案　A 解析　函数f(x)＝x2－2ax＋5的对称轴方程是x＝a，则其单调递减区间为(－∞，a]，因为f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.则|a－1|≥|(a＋1)－a|＝1，因此对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，只需|f(a)－f(1)|≤4即可，即|(a2－2a2＋5)－(1－2a＋5)|＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2≤4，即－2≤a－1≤2，解得－1≤a≤3，又a≥2，因此实数a的取值范围是[2，3]． 17．(多选)(2023·山东烟台高三模拟)对于函数f(x)＝x|x|＋x＋1，下列结论中错误的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)在定义域上是减函数 C．f(x)的图象关于点(0，1)对称 D．f(x)在区间(0，＋∞)上存在零点 答案　ABD 解析　f(x)＝由图象可知，图象关于点(0，1)对称，因此不是奇函数，在定义域上函数为增函数，在(0，＋∞)上没有零点． 18．(多选)(2024·安徽高三摸底联考)一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是(　　) A．若[1，a]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，则a＝3 B．函数f(x)＝－不存在“跟随区间” C．若函数f(x)＝m－存在“跟随区间”，则m∈ D．二次函数f(x)＝－x2＋2x存在“3倍跟随区间” 答案　CD 解析　对于A，若[1，a]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，因为f(x)＝x2－2x＋2在区间[1，a]上为增函数，故其值域为[1，a2－2a＋2]，根据题意有a2－2a＋2＝a，解得a＝1或a＝2，因为a>1，故a＝2，故A错误；对于B，因为函数f(x)＝－在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，若f(x)＝－存在“跟随区间[a，b]”，则有即a，b为方程x＝－的两根，即方程2x2－9x＋4＝0的两根，故a＝，b＝4，故B错误；对于C，若函数f(x)＝m－存在“跟随区间[a，b]”，因为f(x)＝m－为减函数，故由“跟随区间”的定义可知所以a－b＝－，即(a－b)(＋)＝(a＋1)－(b＋1)＝a－b，因为a<b，所以＋＝1，易得0≤<≤1，所以a＝m－＝m－(1－)，令t＝(t∈[0，1])，代入化简可得t2－t－m＝0，同理t＝也满足t2－t－m＝0，即t2－t－m＝0在区间[0，1]上有两个不相等的实数根，故解得m∈，故C正确；对于D，若f(x)＝－x2＋2x存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[a，b]，值域为[3a，3b]．当a<b≤1时，易得f(x)＝－x2＋2x在区间[a，b]上单调递增，此时易得a，b为方程3x＝－x2＋2x的两根，求解得x＝－1或x＝0，故定义域为[－1，0]，则值域为[－3，0]，故D正确．故选CD. 19．(2024·重庆渝北中学高三上学期月考)已知函数f(x)＝2x，x∈[2，4]，g(x)＝x2－2x＋a，x∈[0，3]，若∀x1∈[0，3]和∀x2∈[2，4]有g(x1)≤f(x2)，则实数a的取值范围为________． 答案　(－∞，1] 解析　因为∀x1∈[0，3]和∀x2∈[2，4]有g(x1)≤f(x2)，所以g(x)max≤f(x)min，在函数f(x)＝2x，x∈[2，4]中，函数f(x)单调递增，故f(x)min＝f(2)＝22＝4，在函数g(x)＝x2－2x＋a，x∈[0，3]中，其图象的对称轴方程为x＝－＝1，函数图象的开口向上，所以函数g(x)在x＝3处取得最大值，即g(x)max＝g(3)＝32－2×3＋a＝a＋3，所以g(3)≤f(2)，即a＋3≤4，解得a≤1，故实数a的取值范围为(－∞，1]． 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$