考点测试8 函数的奇偶性、对称性与周期性-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试8　函数的奇偶性、对称性与周期性 高考 概览 本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考点 研读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3．了解函数周期性与对称性及其几何意义，会依据函数的性质进行简单的应用 一、基础小题 1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝|x|＋1 B．f(x)＝－x2＋1 C．f(x)＝ln x2 D．f(x)＝ 答案　B 解析　对于A，因为f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，所以函数f(x)＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，在(0，＋∞)上单调递增，故A不符合题意；对于B，因为f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，所以函数f(x)＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故B符合题意；对于C，因为f(－x)＝ln (－x)2＝ln x2＝f(x)，所以函数f(x)＝ln x2是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，故C不符合题意；对于D，因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，故D不符合题意．故选B. 2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2(1－)，则当x＜0时，f(x)的表达式是(　　) A．x2(1－) B．－x2(1－) C．x2(1＋) D．－x2(1＋) 答案　D 解析　当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝(－x)2·(1－)＝x2(1＋)，又y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2(1＋)． 3．已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 答案　C 解析　对于A，因为f(－x)＝≠－f(x)，则f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，因为f(－x)＝≠f(x)，则f(x)不是偶函数，故B错误；对于C，因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＝1，所以f(x)的图象关于点对称，故C正确；对于D，因为f(1－x)＝≠f(x)，则f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误．故选C. 4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈(0，2]时，f(x)＝x2＋a，若f(2030)＝0，则a＝(　　) A．－8 B．－4 C．0 D．4 答案　B 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，所以f(4＋x)＝－f(x)，所以f(8＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为8，所以f(2030)＝f(－2)＝－f(2)＝－4－a＝0，故a＝－4. 5．设函数f(x)＝x2＋ln (|x|＋1)，则使得f(x)>f(2x－1)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B． C． D.∪(1，＋∞) 答案　C 解析　函数f(x)＝x2＋ln (|x|＋1)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋ln (|－x|＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，又因为当x>0时，函数y＝x2，y＝ln (|x|＋1)单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)>f(2x－1)，所以|x|>|2x－1|，即x2>(2x－1)2，整理，得3x2－4x＋1<0，解得<x<1，所以x的取值范围为.故选C. 6．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 答案　D 解析　当x>0时，x＋>，所以f＝f，即f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2.故选D. 7．已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，若f(3)＝0，且函数f(x＋1)为偶函数，则不等式xf(x)＜0的解集为(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，3) C．(－1，＋∞) D．(－3，0)∪(1，＋∞) 答案　B 解析　因为函数f(x＋1)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，因为f(3)＝0，所以f(－1)＝0，所以由f(x)＜0可得－1＜x＜3，由f(x)＞0可得x＜－1或x＞3，解不等式xf(x)＜0，可得或解得x＜－1或0＜x＜3，所以不等式xf(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，3)． 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1) C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0 答案　C 解析　由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)． 9．(多选)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则(　　) A．f(x)的图象关于点(2，0)对称 B．f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．f(x)的周期为4 D．f(x)的周期为8 答案　AD 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)为周期函数且周期为8. 10．已知函数f(x)＝ax3－2bx2＋x是定义在[2a＋1，3－a]上的奇函数，则a＋b＝________． 答案　－4 解析　依题意，函数f(x)＝ax3－2bx2＋x是定义在[2a＋1，3－a]上的奇函数，所以2a＋1＋3－a＝0，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x3－2bx2＋x，f(－x)＝4x3－2bx2－x，因为f(x)＋f(－x)＝－4bx2＝0恒成立，所以b＝0.所以a＋b＝－4. 二、高考小题 11．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案　B 解析　解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln ，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝xln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解法二：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B. 12．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 答案　A 解析　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数．令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A. 13．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 答案　B 解析　解法一：因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B. 解法二：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称．故选B. 14．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(1)＝0，即a＋b＝0，所以b＝－a，所以f(0)＝f(－1＋1)＝－f(1＋1)＝－f(2)＝－4a－b＝－3a，又f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝0，由f(0)＋f(3)＝6，得a＝－2.所以f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－f＝－f＝－a－b＝－a＝.故选D. 15．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 答案　ABC 解析　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0＋0＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误．故选ABC. 三、模拟小题 16．(2024·安徽高三摸底联考)已知函数f(x)＝e－x－ex＋＋3，x∈[－2023，2023]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　) A．6 B．3 C．0 D．－3 答案　A 解析　令g(x)＝f(x)－3＝e－x－ex＋，则g(－x)＝ex－e－x－＝－g(x)，所以g(x)是定义在[－2023，2023]上的奇函数，因此g(x)min＋g(x)max＝0.又f(x)的最大值为M，最小值为m，所以g(x)的最大值为M－3，最小值为m－3，所以(M－3)＋(m－3)＝0，则M＋m＝6.故选A. 17．(2024·河北邯郸高三上学期第一次调研监测)设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈(－1，1)时，f(x)＝－ex，则(　　) A．f(3)＝－1 B．f(－2)＝－1 C．f(x＋6)为奇函数 D．f(2x)＝f(2x＋8) 答案　D 解析　因为f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(x)＝－f(－x－2)，则f(－1)＝－f(－1)，所以f(－1)＝0.因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(－x＋2)，则f(3)＝f(－1)＝0，故A错误；由当x∈(－1，1)时，f(x)＝－ex，得f(0)＝－1，则f(－2)＝－f(0)＝1，故B错误；因为f(－x＋2)＝－f(－x－2)，则f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(2x)＝f(2x＋8)，故D正确；由f(x＋8)＝f(x)，得f(x＋6)＝f(x－2)，若f(x＋6)为奇函数，则f(x－2)也为奇函数，令g(x)＝f(x－2)，则g(x)为奇函数，则g(0)＝0，又g(0)＝f(－2)＝1≠0，矛盾，所以g(x)＝f(x－2)不是奇函数，即f(x＋6)不是奇函数，故C错误．故选D. 18．(多选)(2024·河北保定部分高中高三上学期开学考试)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＋2xy＝f(x)＋f(y)，f(1)＝2，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(－2)＝－10 C．y＝f(x)＋x2是奇函数 D．y＝f(x)－x2是偶函数 答案　ABC 解析　令x＝y＝0，可得f(0)＝0，故A正确；令x＝y＝1，可得f(2)＝2，令x＝－2，y＝2，可得f(0)－8＝f(2)＋f(－2)，则f(－2)＝－10，故B正确；由f(x＋y)＋2xy＝f(x)＋f(y)，可得f(x＋y)＋(x＋y)2＝f(x)＋x2＋f(y)＋y2，令g(x)＝f(x)＋x2，则g(x＋y)＝g(x)＋g(y)，令x＝y＝0，可得g(0)＝0，令y＝－x，则g(0)＝g(x)＋g(－x)＝0，所以g(x)是奇函数，即y＝f(x)＋x2是奇函数，故C正确；因为f(2)－22≠f(－2)－(－2)2，所以y＝f(x)－x2不是偶函数，故D错误． 19．(多选)(2024·河南二十名校高三调研)已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)＝f(1－x)－1，g(x)＝f(x＋1)－1，若g(x)是奇函数，则(　　) A．y＝f(x)的图象关于点(1，1)对称 B．f(x)＝f(x＋4) C．F(x)是奇函数 D．函数F(x)与g(x)的图象关于原点对称 答案　ABC 解析　由题意，得g(x)＋g(－x)＝0，即f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，整理，得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(1，1)对称，故A正确；又f(x)为偶函数，则f(x)＋f(x－2)＝f(x)＋f(2－x)＝2，所以f(x－2)＋f(x－4)＝2，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)＝f(x＋4)，故B正确；F(x)＋F(－x)＝f(1－x)－1＋f(1＋x)－1＝0，故C正确；因为F(－x)＝g(x)，所以函数F(x)与g(x)的图象关于y轴对称，不关于原点对称，故D错误．故选ABC. 20．(多选)(2024·湖南长沙名校高三第一次质量检测)已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且满足f(x＋3)＝f(1－x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x＋1)是奇函数 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)是最小正周期为2的周期函数 D．若函数g(x)满足g(x)＋f(x＋3)＝2，则g(k)=4048 答案　ABD 解析　因为函数f（x）的图象关于点(1，0)对称，所以f(x＋1)＝－f(1－x)，所以函数f(x＋1)是奇函数，故A正确；因为f(x＋1)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B正确；因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为4的周期函数，故C错误；因为g(x)＋f(x＋3)＝2，所以g(x)＝2－f(x＋3)，故g(x＋4)＝2－f(x＋7)＝2－f(x＋3）＝g(x)，所以g(x)也是周期为4的函数，g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝2－f(4)＋2－f(5)＋2－f(6)＋2－f(7)＝8－[f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)]，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(4)＋f(6)＝0，f(5)＋f(7)＝0，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝8，所以g(k)＝506[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＝4048，故D正确．故选ABD. 21．(2023·陕西商洛第一次模拟)请写出一个同时满足以下三个条件的函数：f(x)＝________． ①f(x)是偶函数； ②f(x)在[0，＋∞)上单调递增； ③f(x)的最小值是2. 答案　x2＋2(答案不唯一) 解析　函数f(x)＝x2＋2为偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，最小值为f(0)＝2，满足要求． 22．(2024·广东广州执信中学高三上学期开学测试)设f(x)为定义在整数集上的函数，f(1)＝1，f(2)＝0，f(－1)<0，对任意的整数x，y均有f(x＋y)＝f(x)f(1－y)＋f(1－x)f(y)，则f(55)＝________． 答案　－1 解析　令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)f(0)＋f(0)f(1)＝2f(0)＝0，∴f(0)＝0；令x＝2，y＝－1，则f(1)＝f2(2)＋f2(－1)＝f2(－1)＝1，又f(－1)<0，∴f(－1)＝－1；令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)f(0)＋f(1－x)f(1)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称；令y＝－x，则f(0)＝f(x)f(1＋x)＋f(1－x)·f(－x)＝[f(x)＋f(－x)]f(1＋x)＝0，∵f(1＋x)＝0不恒成立，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立，∴f(x)为奇函数，∵f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(55)＝f(4×14－1)＝f(－1)＝－1. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$