单元质量测试(一) 集合、常用逻辑用语与不等式-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 单元质量测试(一) 时间：45分钟　满分：100分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2024·广东湛江爱周中学高三月考)设集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝(　　) A．(－1，2) B．(－1，3) C．(2，3) D．(－1，＋∞) 答案　D 解析　由x2－2x－3<0，得－1<x<3，∴A＝{x|－1<x<3}，则A∪B＝{x|x>－1}＝(－1，＋∞)．故选D. 2．(2024·山东潍坊昌乐二中高三月考)命题p：“∀x∈N*，≤”的否定为(　　) A．∀x∈N*，> B．∀x∉N*，> C．∃x∉N*，> D．∃x∈N*，> 答案　D 解析　由全称量词命题∀x∈M，p(x)的否定为存在量词命题∃x∈M，¬p(x)，可得¬p：∃x∈N*，>.故选D. 3．若m>n>0，p<q<0，则一定有(　　) A.> B.< C.> D.< 答案　B 解析　由m>n>0，p<q<0，可得|m|>|n|>0，|p|>|q|>0，所以<，而，，，均为负数，所以>.而与的大小无法比较．故选B. 4．已知集合A＝{x||x＋1|＜1}，B＝，则A∩(∁RB)＝(　　) A．(－2，－1) B．(－2，－1] C．(－1，0) D．[－1，0) 答案　C 解析　由题意知，A＝{x|－1＜x＋1＜1}＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|2－x≥2}＝{x|x≤－1}，∴∁RB＝{x|x＞－1}，∴A∩(∁RB)＝{x|－1＜x＜0}＝(－1，0)．故选C. 5．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　) A．{x|x>5a或x<－a} B．{x|x>－a或x<5a} C．{x|－a<x<5a} D．{x|5a<x<－a} 答案　B 解析　依题意x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0，由于a<0，故5a<－a，所以原不等式的解集为{x|x>－a或x<5a}．故选B. 6．(2024·湖南永州高三一模)“函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减”是“函数g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，所以a<0，由函数g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函数，得g(x)＝g(－x)，即x4－(a＋1)x＝x4＋(a＋1)x，所以a＝－1，故“函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减”是“函数g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函数”的必要不充分条件．故选B. 7．(2024·湖南常德一中开学考试)已知0<m<1，0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，则＋的最小值是(　　) A．18 B．16 C．10 D．4 答案　B 解析　因为0<m<1，0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，所以log2m＝log2(1－n)，所以m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，所以＋的最小值是16.故选B. 8．已知a＞0，b＞0，定义H(a，b)＝max，则H(a，b)的最小值是(　　) A．5 B．6 C．8 D．1 答案　A 解析　由定义H(a，b)＝max，得所以2H(a，b)≥a＋22－b＋＋2b＝a＋＋22－b＋2b≥2＋2＝6＋4＝10，当且仅当即时取等号．所以H(a，b)≥5，即H(a，b)的最小值为5. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2024·福建莆田锦江中学高三第一次阶段考试)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c<0的解集为{x|x<－4} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 答案　AD 解析　对于A，D，由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，得ax2＋bx＋c＝a(x－3)·(x－4)＝a(x2－7x＋12)，故a>0，b＝－7a，c＝12a，a＋b＋c＝6a>0，故A，D正确；对于B，bx＋c<0，解得x>，故B错误；对于C，cx2－bx＋a<0即12ax2＋7ax＋a<0，解得－<x<－，故C错误．故选AD. 10．(2023·河北沧县中学模拟)在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且abc＝2，则下列结论正确的是(　　) A．a2b＜2＋ab2 B．ab＋a＋b＞2 C．a＋b2＋c2≥4 D．a＋b＋c≤2 答案　ABC 解析　对于A，a2b＜2＋ab2，即a2b－ab2＜2，也就是ab(a－b)＜2＝abc，在△ABC中，ab＞0，a－b＜c，则ab(a－b)＜abc成立，故A正确；对于B，ab＋a＋b＞ab＋c≥2＝2，故B正确；对于C，a＋b2＋c2≥a＋2bc≥2＝4，当且仅当a＝2，b＝c＝1时取等号，故C正确；对于D，边长为1，，的三角形，满足abc＝2，但a＋b＋c＝1＋2＞2，故D错误． 11．已知a，b为正实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b＜1 B．若－＝1，则a－b＜1 C．若ea－eb＝1，则a－b＜1 D．若ln a－ln b＝1，则a－b＜1 答案　AC 解析　当a2－b2＝1时，(a－b)(a＋b)＝1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＝＜1，故A正确；当－＝1时，不妨取a＝3，b＝满足条件，则a－b＝＞1，故B错误；由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb(ea－b－1)＝1，∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln 2＜ln e＝1，故C正确；不妨取a＝e2，b＝e满足条件，则a－b＝e2－e＞1，故D错误．故选AC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知集合A＝，B＝{x|ax－1≥0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为________． 答案　[1，＋∞) 解析　∵A∪B＝B，∴A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不满足A⊆B，舍去；当a＞0时，B＝，要使A⊆B，则≤1，解得a≥1；当a＜0时，B＝，此时＜0，不满足A⊆B，舍去．综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)． 13．(2023·北京西城区期末)已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题． 答案　3 解析　将不等式②等价变形，>⇔>0.由ab>0，bc>ad，可得②成立，即①③⇒②；若ab>0，>0，则bc>ad，故①②⇒③；若bc>ad，>0，则ab>0，故②③⇒①.所以可以组成3个正确命题． 14．(2023·山东师范大学附中模拟)已知随机变量X～N(4，σ2)，且P(X≤3)＝P(X≥a＋1)，则＋(0＜x＜a)的最小值为________． 答案　 解析　由正态分布的对称性可知3＋a＋1＝2×4，解得a＝4，因为0＜x＜4，所以4－x＞0，由基本不等式得＋＝·[x＋(4－x)]＝≥＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以原不等式的最小值为. 四、解答题(本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知a＞1，b＞1，M＝＋，N＝＋. (1)试比较M与N的大小； (2)分别求M，N的最小值． 解　(1)M－N＝－＋－＝－，因为a＞1，b＞1，所以a＋b＞0，a－1＞0，b－1＞0，(a－b)2≥0，所以－≤0，所以M≤N. (2)因为M＝＋＝＋＝a－1＋＋b－1＋＋4≥2＋2＋4＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号， 又由(1)M≤N，所以M，N的最小值都是8. 16．(2023·河南商丘高三期末)(本小题满分14分)已知命题p：x2－(2a－3)x－6a≤0(a＞0)，命题q：(log2x＋1)(log2x－3)＜0. (1)当a＝1时，p和q均是真命题，求实数x的取值范围； (2)若q是p的充分条件，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，x2－(2a－3)x－6a≤0即为x2＋x－6≤0，解得－3≤x≤2. (log2x＋1)(log2x－3)<0，解得＜x＜8. 当p和q均是真命题时，＜x≤2. 故实数x的取值范围是. (2)由x2－(2a－3)x－6a≤0， 解得－3≤x≤2a. 若q是p的充分条件， 则⊆{x|－3≤x≤2a}， 所以2a≥8，解得a≥4. 故实数a的取值范围是[4，＋∞)． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$