考点测试5 一元二次不等式的解法-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试5　一元二次不等式的解法 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度 考点 研读 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3．会解一元二次不等式 一、基础小题 1．不等式－3<4x－4x2≤0的解集是(　　) A. B．{x|x≤0或x≥1} C. D． 答案　A 解析　不等式可化为解得所以－<x≤0或1≤x<.故选A. 2．不等式≥0的解集为(　　) A．[－2，1] B．(－2，1] C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞) 答案　B 解析　原不等式化为即解得－2＜x≤1. 3．设一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则ab的值为(　　) A．－1 B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由题意可知方程ax2＋bx＋1＝0的根为－1，2，由根与系数的关系得－1＋2＝－，－1×2＝，解得b＝，a＝－，所以ab＝－. 4．如果关于x的不等式x2－2ax＋b－1＞0的解集为{x|x≠a}，那么下列数值中，b不可能取到的数为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　由题设知，x2－2ax＋b－1＝0对应的Δ＝0，即4(a2－b＋1)＝0，故b＝a2＋1≥1，所以在数值－1，1，2，3中，b不可能取到的数为－1. 5．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4＜0的解集为，其中m＜0，则＋的最小值为(　　) A．－2 B．1 C．2 D．8 答案　C 解析　ax2＋2bx＋4＜0的解集为，则a>0，且ax2＋2bx＋4＝0的两根为m，，∴m·＝，∴a＝1，m＋＝－2b，则2b＝－m＋≥4，即b≥2，∴＋＝＋≥2，当且仅当b＝4时取等号，∴＋的最小值为2. 6．已知点A(－3，－1)与点B(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－24)∪(7，＋∞) B．(－7，24) C．(－24，7) D．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案　B 解析　由题意可得(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，解得－7<a<24.故选B. 7．关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(5，6] B．(5，6) C．(2，3] D．(2，3) 答案　A 解析　关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化为(x－m)(x－2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m≤6，即实数m的取值范围是(5，6]．故选A. 8．对任意实数x，不等式>k恒成立，则正整数k的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　∵x2＋x＋1恒为正数，∴原不等式等价于3x2＋2x＋2>kx2＋kx＋k对x∈R恒成立，即(k－3)x2＋(k－2)x＋k－2<0恒成立，∵当k＝3时，x＋1＜0不恒成立，∴Δ＝(k－2)2－4(k－3)(k－2)＝(k－2)(k－2－4k＋12)＝(k－2)(10－3k)．由Δ<0，得k<2或k>.又k<3，∴k<2，∵k为正整数，∴k＝1. 9．(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为(　　) A. B．3 C．－4.5 D．－5 答案　BC 解析　不等式[x]2＋[x]－12≤0可化为([x]＋4)([x]－3)≤0，解得－4≤[x]≤3.又[x]表示不小于实数x的最小整数，且[]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC. 10．(多选)“关于x的不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1＜0的解集为R”的一个必要不充分条件可以是(　　) A．－5＜a≤－1 B．－5＜a＜－1 C．－5≤a≤－1 D．－6＜a≤－1 答案　CD 解析　当a＋1＝0，即a＝－1时，(a＋1)x2－(a＋1)x－1＜0可化为－1＜0，不等式恒成立；当a＋1≠0，即a≠－1时，因为(a＋1)x2－(a＋1)x－1＜0的解集为R，所以解得－5＜a＜－1.综上所述，－5＜a≤－1.对于A，－5＜a≤－1是不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1＜0的解集为R的充要条件；对于B，－5＜a＜－1是－5＜a≤－1的充分不必要条件；对于C，－5≤a≤－1是－5＜a≤－1的必要不充分条件；对于D，－6＜a≤－1是－5＜a≤－1的必要不充分条件． 11．若a<0，则关于x的不等式组的解集为________． 答案　(a，－a) 解析　因为a<0，所以由ax－a2＝a(x－a)<0，得x>a，由x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)<0，得2a<x<－a.所以原不等式组的解集为(a，－a)． 12．已知三个不等式：①x2－4x＋3<0；②x2－6x＋8<0；③2x2－9x＋m<0.则同时满足①②的x的取值范围为________．要使同时满足①②的所有x的值满足③，则实数m的取值范围为________． 答案　(2，3)　(－∞，9] 解析　由①得1<x<3，由②得2<x<4，故同时满足①②的x的取值范围为(2，3)．要使同时满足①②的所有x的值满足③，即不等式2x2－9x＋m<0在x∈(2，3)上恒成立，即m<－2x2＋9x在x∈(2，3)上恒成立，又－2x2＋9x在x∈(2，3)上大于9，所以实数m的取值范围为(－∞，9]． 二、高考小题 13．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________． 答案　 解析　3x2＋x－2<0变形为(x＋1)(3x－2)<0，解得－1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为. 三、模拟小题 14．(2024·北京海淀高三清华附中校考开学考试)不等式(1－x)(2＋x)>0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1，2) D．(－2，1) 答案　D 解析　由题意，不等式(1－x)(2＋x)>0可化为(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，即不等式(1－x)(2＋x)>0的解集为(－2，1)．故选D. 15．(2023·山东枣庄八中月考)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，－2) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 答案　B 解析　令f(x)＝x2－4x－2－a，则函数的图象为开口向上且以直线x＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f(x)<f(4)＝－2－a，若不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则－2－a>0，解得a<－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)．故选B. 16．(2023·河南部分名校高三一模)某同学解关于x的不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(－∞，－3)∪(－2，＋∞)，则不等式bx2＋cx＋a>0的解集为(　　) A. B．(－∞，－1)∪ C. D.∪(1，＋∞) 答案　C 解析　由题意可知a<0，且－3＋(－2)＝－，－3×(－2)＝－，所以b＝5a，c＝－6a，所以bx2＋cx＋a>0化为5x2－6x＋1<0，即(5x－1)(x－1)<0，解得<x<1.故选C. 17．(2024·广东四校高三第一次联考)“m<1”是“x2－mx＋1>0在x∈(1，＋∞)上恒成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由x2－mx＋1>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，得m<x＋在x∈(1，＋∞)上恒成立，令f(x)＝x＋，由对勾函数的性质可知f(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝2，所以m≤2，所以“x2－mx＋1>0在x∈(1，＋∞)上恒成立”的充要条件为m≤2，所以“m<1”是“x2－mx＋1>0在x∈(1，＋∞)上恒成立”的充分不必要条件．故选A. 18．(2023·黑龙江齐齐哈尔二模)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A．[－1，4] B. C．[－1，0]∪ D．[－1，0)∪ 答案　C 解析　因为命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，所以其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则 即解得所以实数x的取值范围为[－1，0]∪. 19．(多选)(2023·湖北宜昌模拟)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是(　　) A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－ B．若不等式的解集为，则k＝ C．若不等式的解集为R，则k<－ D．若不等式的解集为∅，则k≥ 答案　ACD 解析　因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝，解得k＝－，故A正确；因为不等式的解集为，所以解得k＝－，故B错误；由题意，得解得k<－，故C正确；由题意，得解得k≥，故D正确．故选ACD. 20．(多选)(2023·河南模拟)区间(a，b)是关于x的一元二次不等式mx2－x＋1＜0的解集，则2a＋b的取值可能为(　　) A．3＋2 B．4＋2 C．6 D．3－2 答案　ABC 解析　因为区间(a，b)是关于x的一元二次不等式mx2－x＋1＜0的解集，所以a，b是方程mx2－x＋1＝0的实数根，且m＞0.由根与系数的关系知，所以a＋b＝ab，且a＞0，b＞0，所以＝＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝2＋1＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时等号成立，所以2a＋b的最小值为3＋2，故A，B，C均符合题意． 21．(2024·山东济宁月考)已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　由f(x)＝x2－4x－4且f(x)<1，得x2－4x－4<1，解得－1<x<5.∵f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m)⊆(－1，5)，∴解得0≤m<，即实数m的取值范围为. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$