考点测试4 基本不等式-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试4　基本不等式 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考点 研读 1.了解基本不等式的证明过程 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 一、基础小题 1．若0<a<，则a(1－2a)的最大值是(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　由0<a<，得1－2a>0，则a(1－2a)＝·2a(1－2a)≤＝，当且仅当a＝时取等号．故选A. 2．已知a＞0，b＞0，3a＋＝1，则＋3b的最小值为(　　) A．13 B．19 C．21 D．27 答案　D 解析　＋3b＝＝3＋12＋＋9ab≥15＋2＝27，当且仅当＝9ab，即a＝，b＝6时，等号成立，故＋3b的最小值为27. 3．已知x＞1，则x＋的最小值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　D 解析　∵x＞1，∴x－1＞0，＞0，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，故x＋的最小值是3. 4．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为(　　) A．9 B．12 C．16 D．20 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，＋≥⇒(2a＋b)≥n，(2a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当a＝b时取等号)，所以n≤9，即n的最大值为9.故选A. 5．已知m，n∈R，且m－3n＋4＝0，则2m＋的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵m＝3n－4，∴2m＋＝23n－4＋＝＋≥2＝，当且仅当n＝时取等号． 6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥2，当且仅当x＝，y＝1时等号成立，即2≤2，所以xy≤，所以当且仅当x＝，y＝1时，xy取到最大值，为.故选B. 7．若实数x＋3y＝3，则＋的最小值为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 答案　A 解析　因为＋＝＋＝＋＋2，由x＋3y＝3，得(x－1)＋(3y－1)＝1，又x＞1，y＞，所以＋＝[(x－1)＋(3y－1)]＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝3y－1，x＋3y＝3，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为6. 8．已知函数f(x)＝cosπx(0<x<2)，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则＋的最小值为(　　) A. B．9 C．18 D．36 答案　A 解析　函数f(x)＝cosπx(0<x<2)图象的对称轴为直线x＝1.因为a≠b，且f(a)＝f(b)，所以a＋b＝2，所以＋＝(a＋b)×＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为.故选A. 9．(多选)下列说法正确的是(　　) A．x＋(x＞0)的最小值是2 B.的最小值是 C.的最小值是2 D．2－3x－的最大值是2－4 答案　AB 解析　当x＞0时，x＋≥2＝2，A正确；∵x2≥0，∴＝≥，B正确；＝＝＋，令t＝，则t∈[2，＋∞)，∵y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，∴t＋≥2＋＝，即≥，C错误；当x＜0时，2－3x－无最大值，D错误．故选AB. 10．(多选)若a＞0，b＞0，＋b＝2，则＋的取值可能是(　　) A. B. C. D. 答案　CD 解析　原式＝＋＝＋＝＋＝(3－b＋b)＝≥. 11．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值为________． 答案　4 解析　∵正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，∴x＋2y＋－8≥0.设x＋2y＝t＞0，∴t＋t2－8≥0，∴t2＋4t－32≥0，即(t＋8)·(t－4)≥0，∴t≥4，即x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值为4. 12．正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则m＋n＝________，＋的最小值是________． 答案　4　4 解析　由于数列{an}是正项等比数列，所以公比q>0.由a6＝a5＋2a4得q2＝q＋2，解得q＝2(负根舍去)．由＝2a1，得2m＋n－2＝22，即m＋n＝4.故＋＝(m＋n)＝≥＝×(10＋6)＝4，当且仅当m＝1，n＝3时取等号，故＋的最小值为4. 二、高考小题 13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sinx|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ 答案　C 解析　对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝|sinx|＋≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sinx|＝，即|sinx|＝2时取等号，但是根据正弦函数的性质可知|sinx|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意；对于D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以D不符合题意． 14．(2021·浙江高考)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于的个数的最大值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sinα，cosβ，sinβ，cosγ，sinγ，cosα均为正数．由基本不等式可知sinααcosβ≤，sinβcosγ≤，sinγcosα≤.三式相加可得sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα≤，当且仅当sinα＝cosβ，sinβ＝cosγ，sinγ＝cosα，即α＝β＝γ＝时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＜，所以这三个值不会都大于.若取α＝，β＝，γ＝，则sincos＝×＝＜，sincos＝×＝＞＝，sincos＝×＝＞，所以这三个值中大于的个数的最大值为2.故选C. 15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab C．a＋b≥2 D．a2＋b2≤－2ab 答案　B 解析　显然当a<0，b>0时，不等式a2＋b2≤2ab不成立，故A错误；∵(a＋b)2≥0，∴a2＋b2＋2ab≥0，∴a2＋b2≥－2ab，故B正确，D错误；显然当a<0，b<0时，不等式a＋b≥2不成立，故C错误．故选B. 16．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案　BC 解析　由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；因为x2＋y2－xy＝1变形可得＋y2＝1，设x－＝cosθ，y＝sinθ，所以x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcosθ＝1＋sin2θ－cos2θ＋＝＋sin∈，即≤x2＋y2≤2，当且仅当x＝，y＝－或x＝－，y＝时，x2＋y2＝，当且仅当x＝y＝±1时，x2＋y2＝2，所以C正确，D错误．故选BC. 17．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤ 答案　ABD 解析　对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为(＋)2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD. 18．(2021·天津高考)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 答案　2 解析　∵a>0，b>0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，∴＋＋b的最小值为2. 三、模拟小题 19．(2024·甘肃白银开学考试)若x>3，则4x＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．16 D．17 答案　C 解析　由于x>3，所以x－3>0，4x＋＝4(x－3)＋＋12≥2＋12＝16，当且仅当4(x－3)＝，即x＝时，等号成立，故4x＋的最小值为16.故选C. 20．(2024·浙江名校开学联考)已知b>a>0，2a＋b＝ab，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由2a＋b＝ab⇒a(2－b)＋b＝0⇒(a－1)·(b－2)＝2，且b>2，a>1，故＋＝＋＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故选B. 21．(2024·重庆涪陵中学高三开学考试)已知曲线y＝ax－1＋1(a>0且a≠1)过定点(k，b)，若m＋n＝b－k且m>0，n>0，则＋的最小值为(　　) A．9 B. C．16 D. 答案　C 解析　曲线y＝ax－1＋1(a>0且a≠1)中，由x－1＝0，得x＝1，y＝2，因此该曲线过定点(1，2)，即k＝1，b＝2，于是m＋n＝1，又m>0，n>0，因此＋＝(m＋n)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即m＝3n＝时取等号，所以＋的最小值为16.故选C. 22．(2023·山西省太原市第五中学高三下二模)若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．2 答案　A 解析　＋＝(a＋1＋b＋1)＝≥＝(a2＋b2＋2ab)＝(a＋b)2＝，当且仅当即a＝b＝时等号成立，故＋的最小值为. 23．(2024·四川巴中市高三开学考试)已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案　B 解析　由题意x>y>0，得2x－y>0，x＋2y>0，令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y，由4x＋3y＝1，得a＋2b＝1，故＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b＝，即x＝，y＝时，等号成立，故＋的最小值为9.故选B. 24．(多选)(2023·广东汕头一模)已知正实数a，b满足a＋2b＝ab，则下列不等式正确的是(　　) A.＋≥2 B．a＋2b≥8 C．log2a＋log2b＜3 D．2a＋b≥9 答案　BD 解析　对于A，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，所以＝1，即＋＝1，所以A错误；对于B，因为a＞0，b＞0，a＋2b＝ab，所以a＋2b≥2＝2，当且仅当a＝2b时取等号，所以(a＋2b)2≥8(a＋2b)，因为a＋2b＞0，所以a＋2b≥8，当且仅当a＝2b时取等号，所以B正确；对于C，若log2a＋log2b＜3，则log2a＋log2b＝log2(ab)＜3＝log28，所以ab＜8，所以a＋2b＜8，而由B项可知a＋2b≥8，所以log2a＋log2b＜3不成立，所以C错误；对于D，因为＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，＋＝1，即a＝b＝3时取等号，所以D正确． 25．(2024·辽宁朝阳高三校考阶段练习)已知x>y>0，则x2＋的最小值为________． 答案　8 解析　由x>y>0，可得x－y>0，可得x2＋≥x2＋＝x2＋，当且仅当y＝x－y，即x＝2y时，等号成立，又由x2＋≥2＝8，当且仅当x2＝，即x＝2时，等号成立．综上所述，当x＝2y＝2时，x2＋取得最小值8. 26．(2023·天津市九校联考一模)设a＞2b＞0，那么的最小值是________． 答案　16 解析　因为a＞2b＞0，则b(a－2b)＝·2b(a－2b)≤＝，当且仅当2b＝a－2b，即b＝a时取“＝”，所以≥＝8≥8×2＝16，当且仅当a2＝，即a＝1时取“＝”，所以当a＝1，b＝时，取得最小值16. 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$