第22章 相似形 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（沪科版）
2024-09-13
|
72页
|
94人阅读
|
3人下载
教辅
内容正文：
数 学
九年级上册 HK
1
2
3
第22章相似形
4
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
鼠标轻轻一点，内容立即呈现
6
中考
考点1 比例线段
1.【2023黑龙江哈尔滨中考】如图，，相交于点 ，
，是的中点，，交于点 ，若
，，则 的长为( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7
【解析】，，.， ，
，， ，
是的中点，为的中位线， .故选B.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8
2.【2023江苏常州中考】小明按照以下步骤画线段 的三等分点：
画法 图形
（1）以 为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段，， ，
连接 ；
（3）过点，分别画的平行线，交线段于点 ，
，就是线段 的三等分点 _____________________________________________
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9
这一画图过程体现的数学依据是( )
D
A.两直线平行，同位角相等
B.两条平行线之间的距离处处相等
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
【解析】， ，
， 这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所
截，所得的对应线段成比例.故选D.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11
3.【2023山东威海中考】如图，四边形 是一张矩
形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在
边上，点落在点处，折痕为；使边落在 边
上，点落在点处，折痕为.若矩形 与原矩形
相似，，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
【解析】设 四边形是矩形， ， .
由折叠得 ，，， 四边形 是
矩形， 矩形与原矩形相似，， ，
解得（负值已舍去），， .故选C.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.【2023浙江丽水中考】小慧同学在
学习了九年级上册“4.1比例线段”3
节课后，发现学习内容是一个逐步特
【解】 2
【解析】 ,,, .故答案为2.
由题意得，相似比为，与的面积比为 故答案
为 .
殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
考点2 相似三角形的判定与性质
（第5题图）
5.【2023江苏徐州中考】如图，在中， ，
，，为的中点.若点在边上，且 ，
则 的长为( )
D
A.1 B.2 C.1或 D.1或2
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
【解析】在中， ， ，， ，
， 点D是的中点，.， .如图
（1），当 时,，， ，
，.如图（2），当 时，取的中点 ，连接
点D是中点，点是的中点，， ，
， ，
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
16
为等边三角形， ， ， .
故选D.
图（1）
图（2）
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
17
易错警示
只由和无法判定 .
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
18
（第6题图）
6.【2023山东东营中考】如图，为等边三角形，点， 分别
在边，上， .若，，则 的
长为( )
C
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2
【解析】是等边三角形，， ，
, ，
，，.， 设 ，则
，，， .故选C.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
19
（第7题图）
7.【2023浙江绍兴中考】如图，在中，是边 上的点
（不与点，重合）.过点作交于点；过点 作
交于点是线段上的点，； 是线
段上的点，.若已知 的面积，则一定能求
出( )
D
A.的面积 B.的面积 C.的面积 D. 的面积
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20
【解析】连接，，， ，
，,，, .
，，，,， .
又，, ，
,, ，
,
.故选D.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
21
思路分析
连接，证明，得出，由已知得出，则 .
又，则，进而得出 ，可得
，从而得到，结合题意得出 ，
即可求解.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
22
（第8题图）
8.【2023广东中考】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接
在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部
分的面积为____.
15
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
23
【解析】 如图.由题意可知 ,
, , ,
， ,
,, ,
,,, ,
.故答案为15.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
24
思路分析
根据全等三角形及相似三角形的性质求出梯形 的上底长度和下底长度，再用
梯形面积公式计算即可．
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
25
9.【2023黑龙江龙东地区中考】如图（1），和 是等边三角形，连接
，点，，分别是，和的中点，连接，.易证： .
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
26
若和都是等腰直角三角形，且 ，如图（2）；
若和都是等腰三角形，且 ，如图（3）；其
他条件不变，判断和 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图（2）或图
（3）进行证明.
图（1）
图（2）
图（3）
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
27
【解】题图（2）的猜想：;题图（3）的猜想： .利用题图（2）
证明：如图（1），连接，，和 都是等腰直角三角形，且
，，分别是，的中点，， ，
，， ，
，，， ，
点，分别是，的中点，， .
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
28
图（1）
图（2）
利用题图（3）证明：如图（2）,连接，，和 都是等腰三
角形，且 ， 点
，分别是，的中点，， ，
，， ，
，， 点，分别是， 的中
点，， .（选择其一证明即可）
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
29
考点3 位似
10.【2023山东烟台中考】如图，在直角坐标系中，每个网格
小正方形的边长均为1个单位长度，以点 为位似中心作正方
形，正方形， ，按此规律作下去，所作
正方形的顶点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标
分别为，，， ，则顶点
的坐标为( )
A
A. B. C. D.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
30
【解析】由题图可知，点A每3次一循环.， 点 在射线
上.，，， ， 每循环1次，横坐标加1，纵坐标
加，， .故选A.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
31
11.【2023辽宁阜新中考】如图，和是位似图形，相似比为 ，则
和 的面积比是_____.
（第11题图）
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
32
考点4 相似三角形的应用
（第12题图）
12. 跨学科综合 【2023四川南充中考】如图，数
学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水
平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端
在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.
已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜
B
A. B. C. D.
子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为( )
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
33
【解析】如图，由题意得，，，. ，
， .由题易得 ，
，，即， .故选B.
刷中考
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
34
章测
一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
1.【2023安徽安庆质检】某公园占地面积 ，其中景观绿化面积约为
，在按比例尺 缩小绘制的公园示意图中，景观绿化面积大约相当
于( )
C
A.某县体育中心体育馆的面积 B.一张乒乓球台的面积
C.一张《安徽日报》报纸的面积 D.《数学》教科书封面的面积
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
35
【解析】设景观绿化部分在公园示意图上的面积为 .根据题意得，
，解得 ，故景观绿化面积大约相当于一张《安徽日报》报
纸的面积.故选C.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
36
2.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8， ，且这两个直角三角形
不相似，则 的值为( )
A
A.或 B.15
C. D.
【解析】当3，4为直角边长，6，8也为直角边长时，两三角形相似，不合题意.当
三边长分别为3，4，和6，8， 时，两三角形相似，不合题意.当3，4为直角
边长时，；8为另一直角三角形的斜边长时，其直角边长为6和 ，则
，故.当6，8为直角边长时， ；4为另一直角三角
形的斜边长时，其直角边长为3和，则,故 .故选A.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
37
关键点拨
在直角三角形中，对未知边是直角边还是斜边进行分类讨论是解题的关键.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
38
3. 传统文化【2023辽宁盘锦质检】“今有井径五尺，不知其深，
立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我
国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以
由示意图获得，设井深为 尺，所列方程正确的是( )
A
A. B. C. D.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
39
【解析】如图，设交于， ，
， ，故选A.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
40
（第4题图）
4.【2024安徽合肥庐阳区校级期中】如图，在 中，
，，为 延长线上一点，
，则 的长为( )
D
A.3 B. C. D.4
添加辅助线
根据，过点作，交 的延长线于
点，构造出三角形 的外角，进而构造出相似三角形．
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
41
【解析】 .
如图，过点D作，交的延长线于点， ，
，，.是 的外角，
， ，
，，， ，
，，， ，
，， .故选D.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
42
（第5题图）
5.【2023河北石家庄期末】如图，中， ，
，，为的中点，若动点以 的
速度从点出发，沿着的方向运动，设 点的运动时间为
秒，连接，当是直角三角形时， 的值为
( )
D
A.4 B.7或9 C.4或9 D.4或7或9
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
43
【解析】在中， ， ， ，
, .为中点，. ，
分为和两种情况：①当时， ，
，当 时，为中点， 为
中点，此时，.当 时， ，
，，，即，解得.②当
时，点会再次经过时的位置，此时.综上可知， 的值为4或7或
9，故选D.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
44
6.【2023安徽无为一模】如图，在中， ，， 为线
段上一点，以为一边构造， ， ，有下列结
论：；；； .
其中正确的个数是( )
D
（第6题图）
A.1 B.2 C.3 D.4
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
45
【解析】 ，
，
，故①正确 ，
，，故②正确 ，
，， ，故③正确.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
46
④如图，过点D作，，垂足分别为，，则易得 ,
均为等腰直角三角形.在中，， ，
，同理，在中，,在 中，
， 四边形 是矩形，
,.在中， ，
， ，故④正确.故选D.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
47
7.在矩形中，，，动点从点出发（不与点重合），向点
运动，连接并延长，交射线于点.若， ，则在下面函数图象
中，大致能反映与 之间函数关系的是( )
C
（第7题图）
A. B. C. D.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
48
【解析】 四边形是矩形，， ，
,，则，即， ，
该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．选项A、B的图象都是直线的一部
分，选项D的图象是抛物线的一部分，选项C的图象是双曲线的一部分．故选C.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
49
二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
8.已知线段，点是线段的黄金分割点，则 的长为
______________________________________．
或
【解析】 ①当时， 点是线段 的黄金分割点，
．②当时， 点是线段 的黄金
分割点， ，则
．故答案为 或
．
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
50
易错警示
本题没说明是，还是 ，故需要分类讨论解答.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
51
9.【2024安徽安庆质检】如图， 个边长为2的等边三角形有一条边在同一直
线上，设的面积为，的面积为， ， 的面
积为，则___， _ _________.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
52
【解析】 等边三角形的边长为2， 等
边三角形的高为.如图，过点
作的平行线，则 ，
，， ,
，
， ，
， 点到 的距离
为， .同
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
53
理可求，点到 的距离为
， ，点到 的距
离为 ，
， ，
，
.故答案为
, .
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
关键点拨
作辅助线得到相似三角形是解题的关键.
关键点拨
如图,过作于,过作于 ，可得
,. 等边三角形的高为 ,
, .
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
55
10.【2023安徽六安金安区期末】如图，在正方形 中，
点在边上，连接，的平分线与 边交于点
，与的延长线交于点.设 .
（1）若，，求线段 的长为_______；
【解析】 四边形是正方形，， ， .又
平分，，， ，
点为的中点.， ， ，
，， ，故答案为
.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
56
（2）连接，若，则 的值为__.
【解析】 ，， 四边形 是正方形，
， .在和 中，
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
57
，，.设，则 ，
， ， ，
，，，. ，
，，，， ，
，故答案为 .
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
58
三、解答题（本大题共3小题，共40分）
11.【2024安徽滁州期末】如图，在平面直角坐标系中，
的顶点坐标分别为，， .
（1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出 的位似
图形，使它与的相似比为 ；
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
59
【解】如图， 即为所作图形.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
60
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的 ；
【解】 如图， 即为所作图形.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
61
（3）请问和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点 ，
并写出点 的坐标；若不是，请说明理由.
【解】 和是位似图形.如图，点 即为
所求位似中心，点的坐标为 .
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
62
12.如图，相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，一根电线
杆的钢索系在离地面4米处，另一根电线杆的钢索系在离地面
6米处，求中间两根钢索的相交处 距地面的高度．
【解】作于 .
由题意得， ，
， .
， ，
， .答：中间两根钢索的相交
处距地面的高度是 米．
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
63
关键点拨
正确作出辅助线并掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
64
13.【2024安徽六安金安区校级质检】在矩形中，点是对角线， 的交
点，的顶点与重合且 ，，分别与，相交于， ，
连接，为常数且 .
图（1）
图（2）
图（3）
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
65
思路分析
（3）过点作于点，于点.先利用勾股定理求出 的长，再
利用相似三角形的性质求出， 的长即可得出结论．
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
66
模型总结 对角互补模型
如图（1）， .
解决该类试题常采用构造辅助线的方法，具体如下：
1.构造双垂直，如图（2）.
结论：若平分,则 ;
若不是的平分线，则 .
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
67
2.构造等角 ,如图（3）.
结论：若平分，则 ；
若不是的平分线,则 .
图（1）
图（2）
图（3）
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
68
（1）发现问题：如图（1），若，猜想 ___________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________.
【解】当 时，由
，得 四边形是矩形， 四边形 是正方形，
，， ，
，，， .故答案为1.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
69
（2）类比探究：如图（2），，探究线段， 之间的数量关系，并说明理由.
图（1）
【解】 当时， .理由：
如图（1），过点作于点，于点 ,
， 四边形
是矩形， ， ，
，.，，， ，
同法可证，， .
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
70
（3）拓展运用：如图（3），在（2）的条件下，若， ，
，求 的长.
图（2）
【解】 如图（2），过点作于点，于点 .
， 四边形 是矩形，
， ，
， ，
.
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
71
，， .
，，，， ，
.由（2）得， .
, .
刷章测
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
72
$$
资源预览图
1
2
3
4
5
6
相关资源
示范课
由于学科网是一个信息分享及获取的平台，不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益，请联系学科网，我们核实后将及时进行处理。