第22章 大招专题4 相似三角形判定的常考模型-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（沪科版）

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第22章相似形 4 大招专 题4 相似三角形判定的常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招9 A字型 1.【2024北京昌平区期中，中】如图，在中， ， ，点为中点，点在上，当为_____时， 与以点，， 为顶点的三角形相似. 3或 【解析】 点为中点，， .当 时，，，.当 时,，，.综上，或 .故 答案为3或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 大招解读 A字型 正“A字”型 斜“A字”型（共角） 斜“A字”型（共边共角） ______________________ 已知： .结论： _____________________ 已知： .结 论： _______________________ 已知： .结论： 思路分析 先得到，再分与 两种情况讨论即可解答. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 子题练变式 2.［较难］中，， ，过 上一点作，，分别交， 于点， . 易错警示 注意本题（3）中两个三角形未用相似符号连接， 所以需要分情况讨论，不要漏解. （1）如图（1），求证： . 【证明】，，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 （2）如图（1），若四边形是菱形，求 的长. 【解】设 四边形是菱形， ， ，，，即 ，解得 ，即的长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 （3）如图（2），若以，，为顶点的三角形与相似，求 的长. 【解】 设，则，， , 四边形为平行四边形，， ， ,，即，则， ， ， 当时， ， ，即，解得；当时， ，即 ，解得（舍去）或.综上所述，的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 母题学大招10 8字型 3.【2024重庆沙坪坝区调研，中】如图，在边长为 的 菱形中， ，过点作于点 ，现 将沿直线翻折至的位置，与 交于点 ，则 等于_______. 【解析】 在中， ，， ，由勾股定理得， .根据折叠性质可得，. ， ，.设，则，解得 ，故答 案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 大招解读 8字型 正“8字”型 斜“8字”型（蝴蝶型） ____________________________ 已知： . 结论： __________________________ 已知： . 结论： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 母题学大招11 手拉手型 （第4题图） 4.【2024四川成都双流区质检，中】如图，在 和 中， ，，为 的中点，，.将绕点旋转，直线， 交于点，连接，则 的最小值是 _________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 【解析】 如图，取的中点，连接, ，则 ，， ， . ， ， ,， ， ， ， ， ， . 又为的中点，.为的中点，为 的中点， ，的最小值为.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 大招解读 手拉手型 如图，,绕公共顶点旋转后连接， . 结论： . 思路分析 取的中点，连接，.当,,共线时， 取最小值,等于 .由题意可知，，进而可得 ，所以 ，根据四边形内角和可得 ，再根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半可得出的长，根据中位线定理可得 的长，由 此可得结论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 子题练变式 5.【2024陕西汉中质检，较难】如图，已知正方形的边长为2，对角线 ， 相交于点.将绕点逆时针旋转得到，当，， 三点共线 时， 的长为 _______________. 或 （第5题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】 ①当在的上方时，， 是等腰直角三角形， . ， ，， ， ，. ， ，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 ②当在的下方时，如图.同理可证 ， ， ， . ，， ， ，， .综上 所述,的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 母题学大招12 一线三等角型 6.［中］如图，正方形边长为4，，分别是， 上 的两个动点，当点在上运动时，保持和 垂直，设 . 大招解读 一线三等角型 如图，已知，，三点共线，且 . （1）点在线段 上: 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 （2）点在线段 的延长线上: 结论： . 关键点拨 在一线三等角模型中注意利用互余的性质进行角的 转化. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 （1）求证： . 【证明】在正方形中，， ， ， .在 中， ，， . （2）当点运动到什么位置时？求此时 的值. 【解】 ， 要使，必须有 . 由（1）知，， 当点运动到 的中点时， ，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 子题练变式 7.【2023福建福州校级期末，较难】如图，在中，点，分别在边 ， 上，连接，，且 ． 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 关键点拨 （2）当是等腰三角形时，注意分，， 三种情况 进行讨论. （1）求证： ； 【证明】由题可得 . ,, , ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且 是等腰三角形时，求 的长． 【解】， ， 是等腰直角三角形， . ， . ①当时， ， ， ， . 点在上运动（点不与， 重 合）, 此种情况不符合题意． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 ②当时，如图（1）， .由（1）易证 ，， ． ③当 时，如图（2）， , ，即 ， ． 综上所述， 或1． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 8.［中］如图，已知与都是等边三角形，点在上（不与， 重 合），与相交于点 ． （1）求证： . 【证明】与 都是等边三角形， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 （2）若，设， . ①求关于 的函数表达式及自变量的取值范围； 【解】， . ，，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 ②当最大时，判断 的形状. 【解】 为直角三角形.理由如下：由①可得 ， 当时，存在最大值，即当 最大 时，，是等边三角形， ， ， ， ， 即， 为直角三角形． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 母题学大招13 射影定理（子母型） 9.［中］如图，在中， ，是斜边 上的高. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 大招解读 射影定理（子母型） 基本模型 结论 _________________________________ 中， 刷有所得 在任意直角三角形中，过直角顶点向斜边作垂线，得到的两个小直角三角形都和 原直角三角形相似 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 （1）求证： ； 【证明】， ， .又 ， ， . （2）求证： ； 【证明】 ，，， ，即 . （3）若，，求 的长. 【解】， ， ，，, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 子题练变式 10.【2024安徽六安调研，较难】如图，中，，，点， 分别为，的中点，于点，连接， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 思路分析 （1）通过证明，可得 ，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于，证 ，可得 ，，由相似三角形的性质可得 ，进而求得 的度数，即可求解； （3）通过证明，可得，进而可求 的长，由相似三角形 的性质可求， 的长，再根据三角形面积公式即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 （1）求证： ； 【证明】， ， ， ， ， ，， . （2）求 的大小； 【解】如图，过点作，交的延长线于 点 是 的中点，.又 ， ，， ， ， .又 ，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 （3）若，求 的面积. 【解】 ， ， ，，， . 点,分别是,的中点，，， ， .又，， ， ，.， ， ，，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 $$