精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题

衡阳县第一中学2024届高三4月月考 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则中不同数有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 2019个 D. 以上答案都不正确 3. 已知向量满足，，则的最大值等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 7. 已知数列满足，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，右焦点到渐近线的距离为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 如图，平面，，，，则（ ） A B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件/天） 甲 500 乙 700 丙 800 试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ） A. 若计算机5次生成的数字之和为，则 B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为 11. 已知函数是自然对数的底数，则（ ） A. B. 若，则 C. 最大值为 D. “”是“”的充分不必要条件 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为____________ . 13. 已知点是双曲线的右焦点，过的直线与交于两点，点与点关于原点对称，．若为线段上靠近点的四等分点，则的离心率为______． 14. 若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共6小题，共70分） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知S为的面积且. （1）若，求外接圆的半径； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 16. 如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且. （1）求四边形的面积； （2）证明：平面； （3）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为和，且，直线经过定点．若直线与椭圆相切，记切点为，则的面积为3． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线和分别与直线交于两点，证明是定值，并求出该定值． 18. 设的所有可能取值为，称（）为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为： Y X … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 仿照条件概率定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列． 离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：． （1）设二维离散随机变量的联合分布列为 Y X 1 2 3 1 0.1 0.3 0.2 0.6 2 0．05 0.2 0.15 0.4 0.15 0.5 0.35 1 求给定条件下条件分布列； （2）设为二维离散随机变量，且存在，证明：； （3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求