精品解析：上海市曹杨第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市曹杨二中2023学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的零点是______. 2. 已知两点，则向量的单位向量的坐标为______. 3. 已知集合，，则______. 4. 若复数z满足是虚数单位，则______． 5. 已知平面向量，则在方向上的投影向量为______. 6. 设为常数，若函数的最大值为5，则______. 7. 若，且为第三象限的角，则______. 8. 若，则的值为______. 9. 已知等边的边长为6，点在边上，且，则______. 10. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数______. 11. 设均为大于1的自然数，，若存在实数，使得，则有序实数对为______. 12. 已知平面向量满足：，若，则最小值为_______． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分又不必要条件 14. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（ ） A. 不能作出这样的三角形 B. 能作出一个锐角三角形 C. 能作出一个直角三角形 D. 能作出一个钝角三角形 15. 已知平面上不共线的三点，点在该平面上且不与重合.若动点满足，则点一定落在的（ ） A. 某一边上的高所在直线上 B. 某一边上的中线所在直线上 C. 某一内角的角平分线所在直线上 D. 某一边上的中垂线所在直线上 16. 在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知，设. （1）若，求函数单调减区间； （2）设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 18. 在中，角，，对边分别为，，，且，，． （1）求角的大小； （2）若，，试判定的形状． 19. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地，处位于东西方向的直线上的陆地处，处位于海上一个灯塔处，在处用测角器测得，在处正西方向的点处，用测角器测得.现有两种铺设方案： ①沿线段在水下铺设； ②在岸上选一点，设，先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元、4万元. （1）求两点间距离； （2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 20. 已知平面上不共线的三点，且，是的中点. （1）若，求余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若是内一点，且，求的最小值. 21. 已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． （1）设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； （2）已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； （3）已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市曹杨二中2023学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的零点是______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接解方程即可. 【详解】令， 得， 即函数的零点是. 故答案为：. 2. 已知两点，则向量的单位向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，即可，再根据计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以， 则向量的单位向量为. 故答案为： 3. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先使用集合交集定义，再使用三角函数知识解出结果. 【详解】根据集合交集的定义知. 而，等价于. 所以. 故答案为： 4. 若复数