精品解析：江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题

南京市2024届高三年级第二次模拟考试 数 学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 2. “”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在斜中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. 偶函数 D. 是奇函数 11. 已知平行六面体的棱长均为2，，点在内，则（ ） A. 平面 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则集合的元素个数为__________． 13. 在平面四边形中，，，，，则四边形面积为__________． 14. 已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 60 70 （1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 17. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小． 18. 已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧). （1）求E的渐近线方程； （2）若实数满足，求的取值范围． 19. 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. （1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； （2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京市2024届高三年级第二次模拟考试 数 学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可. 【详解】由，