精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

湖南省衡阳县第一中学2023-2024年下学期高二期中考试 数学试题卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 2. 已知函数图象与直线相切于点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 0 D. -8 3. 设数列的前项之积为，满足（），则（ ） A. B. C. D. 4. 若 则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 6. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A B. C. D. 7. 已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的椭圆 8. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知圆和圆交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 两圆的圆心距 B. 直线的方程为 C. 圆上存在两点和，使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 10. 如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ） A 事件、、两两互斥 B. 事件与事件对立 C. D. 事件、、两两独立 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为______. 13. 设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ______． 14. 已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则______． 四、解答题解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，分别是角的对边，且满足． （1）求角的大小； （2）若为的中点且，求的面积． 16. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角余弦值. 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 18. 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 （1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； （2）将频率分布直方图中频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省衡阳县第一中学2023-2024年下学期高二期中考试 数学试题卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，再由复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 则. 故选：B. 2. 已知函数的图象与直线相切于点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 0 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果. 【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点， 根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以， 又点在函数的图象上，同时也在切线上，