微专题18 玩转古典概型 （四大题型）-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题18 玩转古典概型 【题型归纳目录】 题型一：“放回”与“不放回”问题 题型二：概率模型的多角度构建 题型三：“正难则反”思想，利用对立事件求概率 题型四：古典概型的综合应用 【方法技巧与总结】 古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法（画树状图、列表）．注意做到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率． 【典型例题】 题型一：“放回”与“不放回”问题 【典例1-1】（2024·高二·广东佛山·期中）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，其中游戏公平的是（    ） 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 A．游戏1和游戏3 B．游戏2 C．游戏1和游戏2 D．游戏3 【典例1-2】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n． (1)列出试验的样本空间； (2)求“”的概率． 【变式1-1】（2024·高一·河南平顶山·期末）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. (1)若，求这两人中奖的概率； (2)若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 【方法技巧与总结】 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取． 题型二：概率模型的多角度构建 【典例2-1】口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率. 【典例2-2】（2024·高三·天津南开·阶段练习）甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是 ；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为 . 【变式2-1】（2024·高一·辽宁·期末）一只口袋有形状大小质地都相同的只小球，这只小球上分别标记着数字. 甲乙丙三名学生约定： （）每个不放回地随机摸取一个球； （）按照甲乙丙的次序一次摸取； （）谁摸取的球的数字最大，谁就获胜. 用有序数组表示这个试验的基本事件，例如：表示在一次试验中，甲摸取的是数字，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字；表示在一次实验中，甲摸取的是数，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字. （Ⅰ）列出基本事件，并指出基本事件的总数； （Ⅱ）求甲获胜的概率； （Ⅲ）写出乙获胜的概率，并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关？ 【变式2-2】（2024·高一·河南商丘·期末）某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表               （二）各年龄段人数频率分布直方图 (1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； (2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 【方法技巧与总结】 当