精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年 高一下学期期中考试数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则在复平面内对应的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C D. 4 3. 如图，等腰梯形中，，点为线段中点，点为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D. 棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形 5. 如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 6. 如图，在平行四边形中，是中点，设，，则向量（ ）. A B. C. D. 7. 下列化简结果正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 向量与共线是，，，四点共线的必要不充分条件 C. 已知，，，，，若点，，共线，则. D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 10. 已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数的共轭复数为 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若为的垂心，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若的三个内角满足，则__________． 13. 已知，是单位向量，，．若，则与的夹角为________． 14. 在棱长为1的正方体中，分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和为______． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，， （1）若，且方向相反，求的坐标； （2）若，与的夹角为，且向量与互相垂直，求的值. 16. 如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，. （1）求证：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求的值. 17. 已知正四面体的棱长为3，，，过点作直线分别交，于，．设，（）． （1）求的最小值及相应的，的值； （2）在（1）的条件下，求： ①的面积； ②四面体的内切球的半径． 18. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 19. 对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P． （1）已知数集，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P？ （2）若，且具有性质P，求x值； （3）若X具有性质P，求证：，且当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市汉寿县第一中学2023