精品解析：福建省安溪第八中学2023-2024学年高一下学期期中模拟训练（1）数学试题

福建省安溪第八中学高一下学期期中模拟训练（1） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在边长为的正三角形中，的值为 A B. C. D. 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A B. C. D. 5. 在四面体中，已知底面为正三角形，则“三棱锥为正三棱锥”是“与均为等腰三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（ ） A. 370g B. 490g C. 650g D. 730g 7. 如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 的共轭复数为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ） A. 母线长是20 B. 表面积是 C. 高是 D. 体积是 10. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的母线长为，高为，线段为底面圆的一条直径，为线段的中点，则（ ） A. 底面圆的周长为 B. 圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 直线与圆锥底面所成角的正切值为 D. 沿圆锥的侧面由点到点的最短距离是 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，且为纯虚数，则__________，在复平面内对应的点位于第__________象限． 13. 已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为__________． 14. 如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是两个单位向量，且与的夹角为． （1）求； （2）求与夹角的余弦值 16. （1）在复数范围内解方程； （2）若复数满足，，求． 17. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里. （1）求的面积； （2）求，之间的距离. 18. 已知的三个内角所对的边分别为，是锐角，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 19. 定义向量 的“伴随函数”为； 函数 的“伴随向量”为. （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）写出函数的“伴随向量”为，并求； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为， ①若，，求的值； ②求证：向量的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省安溪第八中学高一下学期期中模拟训练（1） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义和复数的模长公式可得结果. 【详解】由共轭复数的定义可得，因此，. 故选：C. 2. 在边长为的正三角形中，的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以、为邻边作菱形，则，计算出菱形的对角线的长度即可得出答案. 【详解】以、为邻边作菱形，则， 由图形可知，的长度等