专题05 不等式与不等式组【知识梳理+解题方法+专题过关】-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题05 不等式与不等式组 一．不等式的概念 用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“≠”表示关系的式子叫做不等式． 注意： ①有些不等式中不含未知数，如3＜4，＞；有些不等式中含有未知数，如． ②对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立；否则，不等式不成立． 二．常见的不等号 符号 名称 实际意义 读法 举例 ＜ 小于号 小于、不足 小于 ＞ 大于号 大于、高出 大于 ≤ 小于等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 ≥ 大于等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 ≠ 不等于号 不相等 不等于 三．不等式的解及不等式的解集 1．不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．如：不等式的解集是． 注意：不等式的解集必须符合两个两条： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有的数值都在解集中． 3．一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设） 不等式的解集 数轴表示 四．不等式的性质 不等式的性质 性质 文字语言 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 如果，那么 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果，，那么（或） 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果，，那么（或） 注意：不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点 类别 不同点 相同点 不等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向 （1）两边加（或减）同一个数（或式子），不等式和等式仍成立； （2）两边乘（或除以）同一个正数（或正的式子），不等式和等式仍成立 等式 两边乘（或除以）同一个负数，等式仍然成立 五．一元一次不等式的概念 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 注意： ①确定一个不等式是不是一元一次不等式时，可以先通过化简（去括号、移项、合并同类项），然后看三个必备的条件是否同时满足：（1）不等式两边都是整式；（2）不等式中只含有一个未知数；（3）未知数的次数为1． ②一元一次不等式与一元一次方程的区别： 一元一次不等式表示大小关系，由不等号连接，不等号有方向，一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向． 六．一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为（）或（）的形式，其一般步骤为1．去分母；2．去括号；3．移项；4．合并同类项；5．系数化为1（注意不等号方向是否改变）． 七．列不等式解决实际问题 列不等式解应用题的基本步骤： 1．审：认真审题，分清已知量、未知量； 2．设：设出适当的未知数； 3．找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如：“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； 4．列：根据题中的不等关系列出不等式； 5．解：解出所列的不等式的解集； 6．答：检验是否符合题意，写出答案． 八．一元一次不等式组的概念 类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元一次不等式组，如． 注意：判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要从以下两个方面考虑： ①组成不等式组的每个不等式必须是一元一次不等式； ②整个不等式组中只含一个未知数． 九．不等式组的解集 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，如的解集为． 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种基本类型如下表所示： 不等式组（） 不等式组的解集 无解（或空集） 不等式组的解集在数轴上的表示 巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找 注意：一元一次不等式组的解集是所有组成它的一元一次不等式的解集的公共部分 十．一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： 第一步：分别求出不等式组中各个不等式的解集； 第二步：利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 注意：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈． 十一．一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 注意： 列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符