精品解析：上海市进才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

2023-2024学年上海市进才中学高一年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 扇形半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是______. 2. 已知点，，若点满足，则点的坐标为______. 3. 向量在向量方向上的数量投影为________. 4. 函数的单调增区间是______. 5. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则_______. 6. 在上的值域为______. 7. 向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______． 8. 在中，角、、的对边分别为、、，，则角______. 9. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 10. 平面上三点的坐标分别是.小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为______. 11. 矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是______. ①若，则的面积为定值 ②若，则的最小值为4 ③若，则满足点不存在 ④若，，则的面积为 12. 在中，，，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列函数中，最小正周期为奇函数是（ ） A. B. C D. 14. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 15. 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 16. 若非零不共线的向量满足，则（ ）． A. B. C. D. 三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知平面向量满足，且． （1）求向量的夹角； （2）若，求实数的值． 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 （1）请直接写出表中值，并求出函数的解析式和最小正周期； （2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设； （1）当时，求四边形的面积. （2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值. 20. 已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值. （1）求参数的值； （2）若，求向量与向量的夹角； （3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围. 21. 个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． （3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市进才中学高一年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得. 【详解】扇形的半径为1，圆心角所对的长为3， 所以该扇形的面积. 故答案为： 2. 已知点，，若点满足，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标是，利用共线向量的坐标运算可得，求解可得点的坐标. 【详解】设点的坐标是，由，， 可得，， 又，则有， 即，解得. 故答案为：. 3. 向量在向量方向上的数量投影为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义根据题意直接求解即可 【详解】向量在向量方向上的数量投影为 ， 故答案为： 4. 函数的单调增区间是______. 【答案】 【