四川省雅安市2023-2024学年高三三诊数学（理）试题

雅安市高2021级第三次诊断性考试 数学（理科）试题 （本试卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的， 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知如图中程序框图的输出结果为1275，则判断框里可填（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，若，则（ ） A 21 B. 24 C. 27 D. 29 6. 二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年 7. 直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 8. 从五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方体中，已知点为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成的角等于 D. 直线与平面所成的角等于 10. 在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线离心率分别为，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法中正确的个数是（ ） ①当时，函数有且只有一个零点； ②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为； ③若函数在上单调递增，则的最小值为； ④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）将答案填写在答题卡相应的横线上. 13. 已知点的坐标满足条件，则的最大值为__________. 14. 已知函数是偶函数，则实数__________. 15. 已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为__________. 16. 已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为__________. 三､解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用跑腿服务的主要目的，随着消费者即时需求和节约时间需求的提升，跑腿经济的发展空间有望逐步扩大，某跑腿服务公司随机统计了800名不同年龄消费者每月的跑腿服务使用频率得到如下频数分布表： 每月1次 50 40 40 90 每月2～4次 80 80 100 60 每月5～10次 60 75 56 47 每月10次以上 10 5 4 3 （1）若把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，每月使用跑腿服务低于5次的为使用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关? 青年 中年 合计 使用频率高 使用频率低 合计 （2）从样本中每月使用跑腿服务2～4次且年龄在内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与内的人数分别为X、Y，若，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中 附： 0050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 四棱锥中，，底面为等腰梯形，，为线段的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 20. 设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线