专题10 指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题10 指数与指数函数（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 4 【考点1】指数幂的运算 4 【考点2】指数函数的图象及应用 5 【考点3】指数函数的性质及应用 7 【分层检测】 9 【基础篇】 9 【能力篇】 11 【培优篇】 12 考试要求： 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用. 知识梳理 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a(n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R. 4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点突破 【考点1】指数幂的运算 一、单选题 1．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（    ） （参考数据：） A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m 2．（2024·广东深圳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·云南曲靖·模拟预测）若实数满足，则（    ） A．且 B．的最大值为 C．的最小值为7 D． 4．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若且，则，至少有一个大于2 B．， C．若，，则 D．的最小值为2 三、填空题 5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）请写出满足方程的一组实数对： ． 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知实数，满足，，则 ． 反思提升： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不