3.1 多项式的因式分解 课件 2023-2024学年数学湘教版七年级下册

第3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解 学习目标 1.理解因式分解的概念；（重、难点） 2.了解因式分解在解决其他数学问题中的重要作用.如解方程、简化计算等方面都常用因式分解.（重、难点） 新课导入 说一说 （1）21等于3乘哪个整数？ （2）x2-1等于x+1乘哪个多项式？ 21=3×7. 因为( x+1 )( x-1 )=x2-1， 所以x2-1=( x+1 )( x-1 ). 对于整数21于3，有整数7使得21=3×7，我们把3叫做21的一 个因数，同理7也是21的一个因数. 类似地，对于多项式x2-1与x+1，由整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=( x+1 )( x-1 )成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.同理，x-1也是x2-1的一个因式. 一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f 的一个因式. 把x2-1写成( x+1 )( x-1 )的形式叫做把这个多项式因式分解. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 为什么要把一个多项式因式分解呢？ 我们来看一个例子，素（质）数是正整数中的“基本建筑块”，我们可以把每一个大于1的正整数都表示成若干个素（质）数的乘积的形式.例如 12=2×2×3， ① 30=2×3×5. ② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为2×3=6， 进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得 类似的，我们应用因式分解的办法将多项式表示成若干个最基本的多项式乘积的形式，这将为以后学习分式的约分，解一元二次方程等架起解决的桥梁. 【例1】下列各式由左边到右边的边形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）a2+2ab+b2=( a+b )2； （2）m2+m-4=( m+3 )( m-2 )+2. 解 （1）是. 因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了a+b与a+b的积的形式. （2）不是. 因为( m+3 )( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式. 【例2】检验下列因式分解是否正确. （1）x2+xy=x( x+y )； （2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)； （3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ). 分析 检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等. 解 （1）因为x( x+y )=x2+xy，所以因式分解x2+xy=x( x+y )正确. （2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以因式分解a2-5a+6=(a-2)(a-3)正确. （3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2， 所以因式分解2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n )不正确. 练习 1.下列各式从左到右是因式分解的有（ ）个. ①x2-x=x(x-1); ②a(a-b)=a2-ab; ③(a+3)(a-3)=a2-9; ④a2-2a+1=a(a-2)+1; ⑤x2-4x+4=(x-2)2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：①和⑤是因式分解，所以有2个. B 2.下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. -a+b=-(a+b) B. ( x-y )2=-( y-x )2 C. (a-b)3=( b-a )3 D. (m-1)(n-2)=(1-m)(2-n) 解析：-a+b=-(a-b)，A错误； ( x-y )2=[-( y-x )]2=( y-x )2，B错误； (a-b)3=[-( b-a )]3=-( b-a )3，C错误； (m-1)(n-2)=[-(1-m)][-(2-n)]=(1-m)(2-n)，D正确. D 3. 若多项式x4+mx3+nx-16含有因式( x-2 )和( x-1 )，求mn的值. 解析：因为x4+mx3+nx-16的最高次数是4， 所以可设x4+mx