专题09 幂函数与二次函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题09 幂函数与二次函数（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 4 【考点1】幂函数的图象和性质 4 【考点2】求二次函数的解析式 5 【考点3】二次函数的图象与性质 6 【分层检测】 8 【基础篇】 8 【能力篇】 9 【培优篇】 10 考试要求： 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 真题自测 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 三、解答题 6．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 考点突破 【考点1】幂函数的图象和性质 一、单选题 1．（2024·四川成都·模拟预测）设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·上海黄浦·模拟预测）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（20-21高三上·辽宁辽阳·期末）下列函数中是奇函数，且值域为的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 三、填空题 5．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 6．（2022·全国·模拟预测）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数 ． 反思提升： (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【考点2】求二次函数的解析式 一、单选题 1．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 3．（2023·河北沧州·三模）已知二次函数满足，；当时，.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，为自然对数的底数，则（    ） A．函数的最小值