精品解析：上海市宜川中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

宜川中学高一期中数学试卷 2024.04 一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 如果复数满足（为虚数单位），则________. 2. 已知函数是奇函数，则______． 3. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______． 4. 函数包含的一个严格增区间是______． 5. 已知且与夹角为锐角，则的取值范围是_______. 6. 已知向量，，则在方向上的数量投影为______． 7. 若复数满足，，且（为虚数单位），则最小值为______． 8. 下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______（填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 9. 已知平面向量，且，，，则______． 10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 11. 如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是______． 12. 如图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是___________． 二．选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 实部不为零的虚数 D. 纯虚数 14. 若，则是第（ ）象限角 A. 一或二 B. 一或三 C. 二或三 D. 二或四 15. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 周期为 D. 在上是增函数 16. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三．解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. （1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 18. 已知函数最小正周期为． （1）求值，并写出的对称轴方程； （2）在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围 19. 如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． （1）半径的长（精确到小数点后两位）； （2）若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 20. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 21. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜川中学高一期中数学试卷 2024.04 一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 如果复数满足（为虚数单位），则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 2. 已知函数是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解. 【详解】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 3. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】将根代入方程，化简即可得到，列方程组即可求得. 【详解】将代入方程得：， 即，即， 所以，解得， 所以. 故答案为：2 4. 函数包含的一个严格增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性求的单调区间，进而可得结果. 详解】令，解得， 可知函数严格增区间是， 又因为包含， 可知，所以函数包含的一个严格增区间是. 故答案为：. 5. 已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】因为，，所以， 因为与的夹角为锐角，所以，且与