培优专题08 立体几何（四大题型）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关专练（天津专用）

培优专题08 立体几何 题型1 空间几何体的表面积、体积 题型2 空间中平行、垂直关系 题型3 空间角 题型4 立体几何中的探索问题 题型一：空间几何体的表面积、体积 1．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津南开·一模）在长方体中，，，其外接球体积为，则其外接球被平面截得图形面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津和平·一模）若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（    ） A． B．8 C．6或8 D．或6 题型二、空间中平行、垂直关系 6．（2020·天津河东·模拟预测）已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（12-13高三上·山东济宁·开学考试）设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（2022·天津北辰·模拟预测）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，，则； 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 9．（2023·河北保定·一模）设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2017·天津滨海新·一模）已知直线，平面，，那么“”是“”（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：空间角 11．（2024·天津滨海新·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面，，，E为的中点，点F在上，且. (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成角的大小为，求与平面所成角的正弦值； (3)若四棱锥的体积为.求平面与平面夹角的正弦值. 12．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 13．（2024·天津·一模）如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)求点C到平面的距离. 14．（2024·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点E是棱上靠近P端的三等分点，点是棱上一点.    (1)证明：平面 (2)求点F到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 15．（2024·天津·一模）如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 题型四：立体几何中的探索问题 16．（2024·天津河东·一模）在正方体中（如图所示），边长为2，连接    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由． 17．（2023·天津和平·三模）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.    (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离； (3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 18．（2023·天津北辰·三模）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，