专题4.1 角度计算的经典模型（八大题型）-2023-2024学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题4.1 角度计算的经典模型（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 双垂直模型】 【题型2 A字模型】 【题型3 8字模型】 【题型4飞镖模型】 【题型5风筝模型】 【题型6 两内角角平分线模型】 【题型7 两外角角平分线模型】 【题型8 内外角平分线模型】 【题型1 双垂直模型】 模型1 双垂直模型 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD． 【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．160° 【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数． 【题型2 A字模型】 模型2 A字模型 图1 【条件】图1中三种情况 【结论】∠1=∠2 图2 【结论】∠1+∠2=∠3+∠4 【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180° ∴∠1+∠2=∠3+∠4 图3 【结论】∠1+∠2=180°+∠A 【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A 【典例2】如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥DG； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数． 【变式2-1】探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　　 ． （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　　 ． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 　． （4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由． 【变式2-2】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．135° C．270° D．315° 【变式2-3】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝45°，∠A＝50°，则∠ADE的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．50° 【变式2-4】如图，在三角形纸片ABC中∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　　． 【变式2-5】如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝　　 度． 【题型3 8字模型】 模型3 8字模型 【条件】AE、BD相交于点C 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 【典例3】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【变式3-1】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　 【变式3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　 　． 【变式3-3】如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　　． 【变式3-4】探究与发现： 平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O． （1）如图1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数； （2）如图2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM＝∠BAD，∠BCM＝∠BCD，求∠M的度数； （3）如图3，设∠B＝x°，∠D＝y°，∠BAM＝∠BAD，∠BCM＝∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数（直接写答案）． 【题型4飞镖模型】 模型4 飞镖模型 图1 图2