精品解析：湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

三湘名校教育联盟·2024年上学期高二期中大联考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且为纯虚数，则（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知双曲线的实轴长为6，焦点为，则的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 5. 甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 6. 已知首项为3的数列满足，则（ ） A. -2 B. C. 2 D. 3 7. 为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（ ） A. 2.6 B. 3 C. 3.4 D. 4.1 8. 设是线段的中点，是直线外一点.为线段上的两点，，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，则（ ） A B. C. D. 10. 设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，则 11. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 若曲线的图象关于轴对称，则 B. 若图象关于点中心对称，则 C. 若在区间上单调递增，则 D. 若在区间内有且仅有三个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若奇函数，则__________. 13. 陶瓷艺术源远流长，人们的日常生活中随处可见，尤其房屋装饰中瓷砖拼接的艺术颇具美感.当一些纵向长度为1，横向长度为2的矩形瓷砖在垂直或水平方向上没有间隙即恰好拼成矩形时，其铺设方法被称为瓷砖的“布置”.设纵向长度为3，横向长度为的长方形为.使用片砖的的“布置”方法总数为，则__________. 14. 若存在两个不相等的正整数，使得对任意的都成立，则常数的所有可能取值构成的集合为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长. 16. 将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为. （1）求编号为2的排球筐内有球的概率； （2）求的分布列. 17. 在平面直角坐标系中，直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为. （1）用含的式子表示的中点坐标； （2）证明：直线过定点. 18. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． （1）求直四棱柱的高； （2）在棱上是否能找到一点，使得平面与平面夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 19. 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义. （1）直接写出时的分布列； （2）证明：； （3）改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三湘名校教育联盟·2024年上学期高二