（讲练）第4讲 二次根式- 【优+学案·赢在中考】2024年中考数学总复习(山东专用)

第4讲 二次根式（答案P2) 《《《重点知识梳理》》》 定义：形如① (a≥0)的式子 二次根式有意义的条件：要使二次根式a有意义，则a② 0 同时被开方数不含分母 根 最简二次根式： 满足 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 的 有 概 ◆温馨提示：最简二次根式必须同时满足如下条件： L.被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）： 2.被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 1.(a)=a(③ 2.a=|al= ④ (a≥0) 1⑤ (a<0) 二次根 3.ab=√a·b(a⑥ 0,b⑦ 0) 式的 性质 4. Ja -(a⑧ 0,b⑨ 0) b 次 a≥0 5.√a具有双重非负性 a≥0 加减法：把几个二次根式化为⑩ 后，若有被开方数相同的二次根式，可把被开方数相 同的二次根式合并成一个二次根式 乘法：a·√b=① (a≥0，b≥0) 根 式 的 除法， (a≥0，b>0) 算 【随手一练】下列各式计算正确的是( A.3w3-23=1 B.√(-3)2=-3 C.3+2=5 D.(5+5)(5-3)=2 (/11)2=11 先对二次根式平方 估计二次根式 ↓ 找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数 确定9和16 二次根式 √a(a>0)的值 的估值 在哪两个连续的 对以上两个整数开方 5=3,/16=4 整数之间 ↓ 确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间 3<√/11<4 数学练围SD 16 先确定二次根式在哪两个整数之间，如3<√11<4 确定与二次 求这两个整数的平均数，如3十4=3,5 次二次根式 2 根的估值 根式a(a>0) 对二次根式和平均数进行平方，如(11)2=11,3.5=12.25，若二次根 式 最接近的整数 式的平方小于平均数的平方，如11<12.25，则离较小的整数近，即/11 离3较近；反之离较大的整数近 《《《典型例题剖析》》 命题点1二次根式有意义的条件 【例2】(2022·遂宁中考)实数a,b在数轴上的位 置如图所示，化简|a十1|一√(b-1)产十 方法指导》 √(a-b)= 解题的关键是熟练运用二次根式的条 件—被开方数是非负数.解决此类题需从整体 -4-3-2-101234 上观察代数式的特点，若存在二次根式，便可根 【思路分析】根据数轴可得一1<a<0,1<b<2, 然后即可得到a十1>0，b-1>0,a-b<0,从而 据被开方数是非负数列不等式：若存在分母，便 可以将所求式子化简。 可根据分母不为0列不等式.字母的取值范围便 是所有不等式联立组成的不等式组的解集， 【自主解答】 【变式训练2】(2023·河北中考)若a=√2，b= 【例】2022·广州中考)代数式 一有意义时，x 7,则 14a 应满足的条件为( A.x≠-1 B.x>-1 A.2 B.4 C.√7 D.2 C.x<-1 D.x≤-1 命题点3●二次根式的运算 【思路分析】直接利用二次根式有意义的条件、分 式有意义的条件分析得出答案。 品方法指导 【自主解答】 在二次根式的混合运算中，如能结合题目 【变式训练1(2023·黄石模拟)代数式三有 特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解 x-6 题途径，往往能事半功倍，在运算过程中，除了 意义，则x的取值范围是( 注意运算顺序外，还要特别注意公式的运用和 A.x≤5 B.x≥5 实数运算律的使用.公式包括二次根式乘除运 C.x>5且x≠6 D.x≥5且x≠6 算公式，以及完全平方公式和平方差公式 命题点2》二次根式的性质 【例3】阅读理解阅读下面材料： 方法指导》 将边长分别为a,a+b,a+2b,a+3b的正 要熟练掌握二次根式的五个性质，特别要 方形面积分别记为S1,S2,S:,S 注意当a<0时，√后=a=一a,要具有整体 则S2-S:=(a+√6)2-a 思想，会整体处理。 =[(a十√b)+a]·[(a+√b)-a] 优学即 17 赢在中考 =(2a+b)·b (2)根据(1)的结论化简S+1一S。即可； =b+2a6. (3)化简T=t1十t:十t十…十t0后，代入数值计 算即可 例如：当a=1,b=3时，S2-S,=3+25. 【自主解答】 根据以上材料解答下列问题： (1)当a=1,b=3时，S1-S2= ,S4 S1= (2)当a=1,b=3时，把边长为a十n历的正方形 面积记作S。+1,其中n是正整数，从(1)中的计算 【变式训练3】(2023·大连中考)下列计算正确的 结果，你能猜出Sm+1一S。等于多少吗？并证明 是( 你的猜想。 A.(2)=2 B.25+33=56 (3)当a=1,b=3时，令t1=S2-S1,t2=S3 C.8=42 D.3(23-2)=6-23 S2,t