9.4三角形式下复数的乘除、乘方、开方运算（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 9章 复数 9.4三角形式下复数的乘除、乘方、开方运算（第2课时） 学习目标 1.了解复数乘、除运算的三角表示（重点） 2.了解复数乘、除运算及乘方、开方的几何意义 3.会利用复数三角形式进行复数乘、除及乘方、开方运算（重点、难点） 复数的两种形式 代数形式 三角形式 实部 虚部 辐角 辐角主值 复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化. 复习引入 复数的代数形式的乘除运算法则 两角和（差）的正弦、余弦公式 （1） （2） 复习引入 现在我们讨论三角形式下的复数乘除运算公式． 设有两个用三角形式表示的复数 z1＝r（cos α＋isin α）与z２＝s（cos β＋isin β），其中r＝｜z１｜≥０，s＝｜z２｜≥０，则 1.三角形式下复数的乘除运算 也就是说，两个复数相乘，其积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和；两个复数相除（除数不为零），其商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差． 新知探究 证明 乘积的公式的推导是两角和的正弦、余弦公式的直接应用： 乘积公式得证． 现在设z２≠０（从而 s ≠０），用乘积公式计算复数z２ 与［cos（α－β）＋isin（α－β）］的乘积，就得到 再把等式两边同除以z２，就得到所求的除法公式． 例３ 计算，并用复数的代数形式表示计算结果： 课本例题 计算： 巩固练习1 ——复数三角形式的乘法 【解】 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角，若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 易错题 【错解】 本题错在 不是负数三角形式的标准式，应该化为 【1】计算 巩固练习2 ——计算时未化为标准三角形式 易错题 【正解】 【1】计算 巩固练习2 ——计算时未化为标准三角形式 计算： ——复数三角形式的除法 【解】 两个三角形式的复数相除，则商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.若出现复数的代数形式，先转化为复数的三角形式，再计算 巩固练习3 我们现在来分析复数乘法的几何意义． 在复平面上，把复数z１＝r（cos α＋isin α）（其中r＝｜z１｜≥０）对应的向量记为，则 ＝r，而从 x 轴正向到方向需旋转α角（当α＞０时，逆时针旋转；当α＜０时，顺时针旋转）． 把Z1乘一个非负实数 s ，就是把向量 伸缩为原来的 s倍，成为向量（向量与实数的乘积），使它的模 ，而其辐角不变（图９-４-２（１）） 把Z１乘一个模为１的复数cos β＋isin β，就是把Z１的辐角从α变成了α＋β，将向量变成为向量 ，而其模=r不变 （图9-4-2（2））．也就是说，这个乘法就是让向量 绕坐标原点旋转 β 角成为向量 ，使得以 x 轴正半轴为始边、以为终边的角是α＋β．这样，“旋转”这一重要的几何变换可以用复数乘法得到准确的表达．例如，由于ｉ的辐角主值是 ，因此把Z１乘i就是让向量绕坐标原点逆时针旋转 。  一般地，把复数Z1 乘任意一个复数Z2＝s（cos β＋isin β），在几何上就是对作上述两个变换的合成：先伸缩，再旋转，或者先旋转，后伸缩（图9-4-2（3））．从复数乘法的结果我们知道，这两个不同顺序会得到同样的结果． 例４ 如图9-4-3，设复数－２＋２ｉ在复平面上所对应的向量是，将 绕原点O逆时针旋转120°得到向量．求向量 所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 解 设向量 对应的复数为 z ′，则 课本例题 巩固练习4 ——复数乘法、除法的几何意义 设 对应的向量为 ，将 绕点 按顺时针方向旋转60°，求所得向量对应的复数(用代数形式表示). 【解】将 绕点 按顺时针方向旋转60°所得的向量对应的复数为 易错题 【2】已知复数 所对应的向量 ，通过作图，画出下列复数 所对应 的向量 ° ① ° ② (1)乘数 ° 不是复数的三角形式，应该化成 这样才能应用复数乘法的几何意义来解题 【错解】 将 绕点 逆时针旋转30°，得到 ，如图① 将 绕点 逆时针旋转120°，再关于 轴作对 称，得到 ，如图② (2)旋转120°之后，取其反方向的向量，模不变，得到 巩固练