8.2向量的数量积的定义与运算律（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.2向量的数量积的定义与运算律 （第2课时） 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. ２ 向量的数量积的定义与运算律 我们还规定零向量与任意向量的数量积为０ 类比数的乘法的运算律，我们可以证明向量的数量积运算满足如下运算律 由于数量积的交换律和分配律与数的乘法类似，容易证明如下的公式． 例４ 证明： 证明 （１）的证明如下： 对于（２），我们有 在8.3节中我们将利用向量的坐标（从而不通过向量的夹角）直接来计算向量的数量积，而上面的公式就提供了计算向量夹角的有效方法． 由向量的数量积的定义，可以得到： 解 因为 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，对应的夹角分别是0°和180°，不要弄错. 未弄清向量的夹角而弄错 坑① 已知OA=，OB= ，OC= ，求向量BA与BC的夹角. 显然BA=-2BC，所以BA与BC共线，故它们的夹角为0°. 【错解】 由已知得BA=OA-OB=， BC=OC-OB= , 显然BA=-2BC，所以BA与BC共线， 【正解】 由已知得BA=OA-OB=， BC=OC-OB= , 因为它们是反向共线，故夹角为180° 【1】设非零向量满足，则与的夹角为（ ）. 【解】∵ A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 如图所示就是符合题意的向量， 根据题意有ΔACO和ΔBCO都是是等边三角形， 所以∠AOB=60°+60°=120° 即向量与的夹角是120°，选B 平面几何性质运用不准确 坑② 在ΔABC中，|BC|=5，|CA|=6，∠BCA=60°，求AC·CA 【错解】× 【正解】 × 判断两个向量的夹角，应先把两个向量移动到同一起点，BC与CA的夹角是∠BCA的补角. 【2】平面向量两两夹角都相等，且 【解】由题意，可得任意两个向量的夹角都是0°或120° 则 当两两夹角为0°时， 方向相同 当两两夹角为120°时， 由于则有 所以 练习８．２（２） 　　　 ２．填空题： 课本练习 1.已知单位向量 ， 满足| -2 |= ，则 • =( ____ ) A.- B.-2 C. D.2 【解析】解：因为| |=| |=1，| -2 |= ， 两边同时平方得， =3， C 随堂检测 故 = ． 故选：C． 17 2.已知 =(λ，2)， =(3，-5)，且 与 的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是( ____ ) A.(-∞， ] B.(-∞， ) C.(-∞， )∪( ， ) D.(-∞，- )∪( ， ) 【解析】解： =(λ，2)， =(3，-5)，且 与 的夹角θ是钝角 D ∴ ＜0，且 ， 不共线，即 ， 解得λ∈(-∞，- )∪( ， )． 故选：D． 18 3.已知向量 ，则＜ ， ＞=　　． 【解析】解：∵cos＜ ＞= = =- ， ∴＜ ＞=arccos(- )= ． 19 4.若向量 ，已知 与 的夹角为 ，则实数k是 　　． 【解析】解：∵ 与 的夹角为 ， ∴ ， ∴3k+1×4=0，解得k= ． 故答案为： ． 20 5.已知 ， ，且 与 平行，则 =　　． 【解析】解：已知 ， ，且 与 平行， 所以2×x=1×4，所以x=2， 所以 ，所以 ， 所以 ． 故答案为： ． 21 6.若 ， ，且 与 的夹角为锐角，则λ的取值范围是 　　． 【解析】解：因为 与 的夹角为锐角， 所以 且 与 不共线，即 ，解得 且 ， 所以λ的取值范围是 ． 故答案为： ． 22 7.已知 ，则实数m= ____ ． 【解析】解： =(m+2，m-4)， =(m,-2-m)， ∴ ， ∴m(m+2)+(-2-m)(m-4)=0， 解得m=-2． -2 故答案为：-2． 23 8.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点M