内容正文:
■江苏省锡山高级中学 刘烨烨
圆锥曲线的证明问题在近三年的新高考
中都有涉及,考查方式比较灵活。证明问题
中虽然目标明确,但需要优化运算方法。证
明类问题的考查方向主要有以下三类:一是
位置关系的证明,如平行、垂直、三点共线或
一些特殊的位置证明;二是特殊图形的证明,
这类问题一般可以利用几何关系转化为位置
关系的证明;三是数量关系的证明,如长度、
角度、面积等关系的证明,这类问题常常与函
数、不等式、向量等知识有交汇,考查同学们
的逻辑推理能力与数学运算能力。
题型一、位置关系的证明
圆锥曲线中位置关系的证明一般是点、
直线的位置关系证明,以及特殊图形的证明,
主要涉及特殊点的位置证明,以及线与线、线
与曲线等位置关系的证明。证明的方向比较
明确,常常使用点参或k参统一变量,在证明
过程中要能够把条件进行适当地转化,从而
优化解题思路,简化运算过程。
例 1 已知双曲线C:x
2
a2
-y
2
b2
=1(a>
0,b>0)的离心率为 2,直线l1:y=2x+
43与双曲线C 仅有一个公共点。
(1)求双曲线C 的方程。
(2)设双曲线C 的左顶点为A,直线l2
平行于l1,且交双曲线C 于 M,N 两点,求
证:△AMN 的垂心在双曲线C 上。
解析:(1)因为双曲线C 的离心率为 2,
所以
c2
a2
=2,c2=2a2,a2+b2=2a2,即a2=
b2,所以双曲线C 的方程为x2-y2=a2。联
立
y=2x+43,
x2-y2=a2, 消 去 y 整 理 得 3x2 +
163x+a2+48=0。因为直线l1 与双曲线
C 仅有一个公共点,
所以 Δ=(16 3)2-
12(a2+48)=0,解得a2=16。所以双曲线C
的方程为
x2
16-
y2
16=1
。
(2)由题意可设直线l2:y=2x+m(m≠
43),M(x1,y1),N(x2,y2)。
联立
y=2x+m,
x2-y2=16,
消去y 整理得3x2+
4mx+m2+16=0,所以x1+x2=-
4
3m
,
04
解题篇 经典题突破方法
高考数学 2024年4月
x1x2=
m2+16
3
。
图1
如图1,过A 引MN 的
垂线交C 于另一点 H,则
AH 的方程为y=-
1
2x-
2,代入x2-y2=16得3x2
-8x-80=0,解得x=-4
(舍去)或x=
20
3
,所以 H 203
,-
16
3 。
所 以
kANkMH =
y2 y1+
16
3
(x2+4)x1-
20
3
=
12x1x2+6m(x1+x2)+32x2+3m2+16m
3x1x2+12(x1+x2)-32x2-80
=
-m2+16m+32x2+64
m2-16m-32x2-64
=-1,所以 MH⊥
AN,所以 H 为△AMN 的垂心,即△AMN
的垂心在双曲线C 上。
点评:本题以直线与双曲线为背景,证明
垂心问题,看似比较复杂,但在形与数的分析
下发现,利用要证明的结论,联立直线与双曲
线可以得到垂心的坐标,再证明直线与直线
垂直即可。该方法是对题目条件进行了重新
组合,从而转变了解决问题的角度。
题型二、数量关系的证明
圆锥曲线中数量关系的证明一般涉及角
度、长度、面积等问题,推导证明时注重方法
的选择,并适当联系平面几何知识,同时还要
与函数、方程、不等式等知识融合,能合理地、
多角度地进行条件的转化与优化。
例 2 已知双曲线C:x
2
a2
-y
2
b2
=1(a>
0,b>0)过点A(42,3),且焦距为10。
(1)求双曲线C 的方程。
(2)已知点B(42,-3),D(22,0),E
为线段AB 上一点,且直线 DE 交双曲线C
于G,H 两点。证明:
|GD|
|GE|=
|HD|
|HE|
。
解析:(1)由题意可得
32
a2
-
9
b2
=1,2c=
2 a2+b2=10,解得a=4,b=3,所以双曲
线C 的方程为
x2
16-
y2
9=1
。
(2)证法1:设 E(4 2,t),G(x1,y1),
H(x2,y2),当x=42,即
32
16-
y2
9=1
时,解
得y=±3,则|t|<3。
设直 线 DE 的 方 程 为y=±
3
4
(x-
22),令x=4 2,得y=±
32
2
,故|t|≠
32
2
,直线DE:y=
t
22
(x-22)。
联立
y=
t
22
(x-22),
x2
16-
y2
9=1
,
消去y