圆锥曲线中范围与最值问题的求解策略-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■江苏省锡东高级中学 吴小明 许瑞珠 在高考的解析几何试题中,圆锥曲线的 范围与最值问题是一类常见的题型,既可以 考查解析几何的核心知识、本质特征及数学 思想方法,又可以和不等式、向量、函数等知 识融合。这类问题考查的知识综合性强,思 维角度多样化,解题方法灵活多变,能提升同 学们的数学运算、逻辑推理和直观想象等数 学核心素养。从几何视角看,范围与最值问 题的产生是基于几何图形的动态变化,一般 常见的如动点、动直线等。解决这类问题的 基本策略是建立不等关系或目标函数来研究 范围或最值,难点在于如何建立不等关系或 目标函数。选择合适的变量是解题的关键, 变量选择的基本原则是判断该变量能否合适 地表达要解决的问题,即判断该变量是否为 问题的核心变量。解决圆锥曲线中范围与最 值问题的一般步骤为:①分析诱因,设立变 量;②建立所求量与设立变量的不等关系或 函数关系;③求解不等式或函数的值域(最 值)。本文将从以下几个方面来举例说明。 一、建立目标函数,转化为函数的最值问题 例 1 (2023年江苏南通如皋模拟)已 知椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左焦点和 右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点P 在 椭圆E 上,PF2⊥F1F2,且|PF1|=3|PF2|。 (1)求椭圆E 的方程; (2)设直线l:x=my+1(m∈R)与椭圆 E 交于A,B 两点,与圆x2+y2=a2 交于C, D 两点,求|AB|·|CD|2 的取值范围。 解析:(1) x2 2+y 2=1。(过程略) (2)设 A(x1,y1),B (x2,y2),联 立 x=my+1, x2+2y2=2, 消去x 整理得(2+m2)y2+ 2my-1=0,则 y1+y2= -2m 2+m2 ,y1y2= -1 2+m2 。 所以弦长|AB|= 1+m2|y1-y2|= 1+m2 · (y1+y2)2-4y1y2 = 22(1+m2) 2+m2 。 设圆x2+y2=2的圆心O 到直线l的距 离为d= 1 1+m2 ,所以|CD|=2 2-d2= 2 1+2m2 1+m2 。 所以|AB|·|CD|2=4· 1+2m2 1+m2 · 22(1+m2) 2+m2 = 82(1+2m2) 2+m2 = 82 · 2- 3 2+m2 。 因为 0< 3 2+m2 ≤ 3 2 ,所 以 1 2 ≤2- 3 2+m2 <2,所以4 2≤|AB|·|CD|2< 162,即|AB|·|CD|2 的取值范围为[42, 162)。 点评:所谓目标函数,即所研究的目标对 象与另一个相关变量之间的关系,一旦建立 这样的函数关系式,就可以利用函数或者导 数等来求解范围(最值)。目标函数建立的关 键是抓住问题的核心变量,并确定其与目标 对象之间的关系式。如本题中动直线截圆及 椭圆的弦长为|AB|,|CD|,由于直线的运动 变化,导致弦长|AB|,|CD|发生变化,从而 引起目标对象的变化,因此,解决问题时,紧 扣引起动直线变化的诱因参量 m,用参量 m 来表示弦长|AB|、|CD|,进而建立目标对象 与参量m 之间的函数关系式,利用函数值域 的研究方法,得出目标对象的取值范围。 二、构造并利用代数基本不等式解题 例 2 (2023年江苏无锡辅仁高中模 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年4月 拟)已知椭圆C: x2 a2 +y2=1(a>1)的右焦点 为 F (c,0),点 A,B 在 椭 圆 C 上,点 D - c 2 ,0 到 直 线 FA 的 距 离 为 c2,且 △ABF 的内心恰好是点D。 (1)求椭圆C 的方程; (2)已知O 为坐标原点,M,N 为椭圆上 不重合的两点,且线段MN 的中点H 在直线 y= 1 2x 上,求△MNO 面积的最大值。 解析:(1) x2 2+y 2=1。(过程略) (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0), 则x0=2y0,x1+x2=2x0,y1+y2=2y0。 因为 M,N 为椭圆上不重合的两点,则 x21 2 +y 2 1 =1, x22 2 +y 2 2 =1,两 式 相 减 得 (x1-x2)(x1+x2) 2 =- (y1-y2)(y1+y2), 则 y1-y2 x1-x2 =- x1+x2 2(y1+y2) =- 2x0 4y0 =-1,即 kMN=-1。 设直线 MN 的方程为y=-x+m(m≠ 0),联立 y=-x+m, x2 2+y 2=1, 消去y 整理得3x2- 4mx+2m2-2=0,所以x1+x2= 4m 3 ,x1x2 = 2m2-2 3 。 由题意知 Δ=16m2-12(2m2-2)= -8m2+24>0,解