内容正文:
■江苏省怀仁中学 孙 筝
圆锥曲线中的定点和定值问题是高考中常
见的一种题型,运算量大,综合性强。不仅涉及
圆锥曲线的定义、性质,以及与直线之间的关
系,同时还与平面向量、函数及方程等内容有联
系。本文结合典型例题探究此类问题的一般求
解策略,希望有助于同学们的复习备考。
题型一、圆锥曲线中的定值问题
在解析几何中,有些量,如斜率、距离、面
积、比值等基本量与动点坐标或动直线中的
参变量无关,这类问题统称为定值问题。这
些问题重点考查方程思想、函数思想、转化与
化归思想。常见的方法为:设而不求,整体代
换。确定一个(或多个)参数为核心参数,其
余参数均利用题目条件用核心参数进行表
示,再将所求表达式用核心参数表示,然后进
行化简,从而得到定值。
例 1 已知点N 在曲线C:x
2
8+
y2
6=1
上,O 为 坐 标 原 点,若 点 M 满 足 ON→ =
2OM→,记动点 M 的轨迹为曲线Γ。
(1)求曲线Γ 的方程。
(2)已知点P 在曲线C 上,点A,B 在曲
线Γ 上,若四边形OAPB 为平行四边形,则
其面积是否为定值? 若是,求出定值;若不
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解题篇 经典题突破方法
高考数学 2024年4月
是,请说明理由。
解析:(1)设 M(x,y),N(xN,yN)。
因为点N 在曲线C:
x2
8+
y2
6=1
上,所
以
x2N
8+
y2N
6=1
。
因为 ON→= 2OM→,所以
xN= 2x,
yN= 2y, 代
入
x2N
8+
y2N
6=1
,化简得x
2
4+
y2
3=1
。
所以曲线Γ 的方程为
x2
4+
y2
3=1
。
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,
y0),因为点P 在曲线C 上,所以
x20
8+
y20
6=1
。
因为四边形OAPB 为平行四边形,所以
OP→=OA→+OB→,即(x0,y0)=(x1+x2,y1+
y2),所以
(x1+x2)2
8 +
(y1+y2)2
6 =1
。
又因为
x21
4+
y21
3=1
,x
2
2
4+
y22
3=1
,所以
x1x2
4 +
y1y2
3 =0
。
因为
x21
4+
y21
3 x
2
2
4+
y22
3 = x1x24 +y1y23
2
+
x1y2
23
-
y1x2
23
2
=1,所以(x1y2-y1x2)2=12。
因为直线OA:y1x-x1y=0,所以点B
到直线OA 的距离d=
|x1y2-y1x2|
x21+y21
。
所以S四边形OAPB=2S△AOB=|OA|d= x21+y21
×
|x1y2-y1x2|
x21+y21
=|x1y2-y1x2|=23。
点评:本题采用了设而不求的方法,直接设
动点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由四边形
OAPB 为平行四边形可知OP→=OA→+OB→,即点
P 的坐标可用点A,B 的坐标来表示。此时可
确定点A,B 的坐标为核心参数,再结合点 P
在曲线C 上,点A,B 在曲线Γ 上,可计算推
理得出点A,B 的坐标(核心参数)之间的数
量关系,即(x1y2-y1x2)2=12,由点 A 的坐
标表示出直线OA,求出点 B 到直线OA 的
距离d,根据计算可以将所求面积用核心参
数来表示,利用整体代换即可得到定值。
题型二、圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定点问题一般是有关动直
线或动曲线的问题。常用方法为:①参数无
关,直接求解。选取合适的参数,如动直线的
斜率、截距、动点的坐标等,根据题目中的信
息列方程组,通过推理、运算得到关于参数与
变化量的关系,再研究变化的量与参数何时
没有关系,从而找到定点。②特殊先行,先猜
后证。面对复杂的圆锥曲线中的定点问题,
可以根据动点或动直线的特殊情况(如斜率
不存在,过特殊点,图形对称等)探索出可能
的定点,这给后面的解题有了一个明确的方
向,再证明该定点与变量无关即可。
例 2 已知椭圆C:x
2
a2
+y
2
b2
=1(a>b
>0)的离心率为
3
3
,且过点(3,2)。
(1)求椭圆C 的方程。
图1
(2)如图1,椭圆C 的上
顶点为P,过P 的两条直线
l1,l2 分别与椭圆C 交于异
于点P 的A,B 两点,若直线
l1,l2 的斜率之和为-1,试
问:直线 AB 是否 过 定 点?
若是,求出该定点;若不是,请说明理由。
解析:(1)由题意知
c
a=
3
3
,3
a2
+
2
b2
=1,
又c2=a2-b2,可