内容正文:
■湖北省襄阳市第三中学 邹永生
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一,
圆锥曲线的学习是同学们领悟用代数方法解
决几何问题的关键过程,圆锥曲线的训练对
提高逻辑推理、运算求解等能力有重要价值,
圆锥曲线的图形优美,概念众多,结论繁杂,
运算冗长,使得众多学子在高考中频繁丢分,
下面总结一些学习过程中的常见错误,供同
学们学习时参考。
易错点一、使用“点差法”时忽视直线与
曲线有交点的前提致错
例 1 已知双曲线2x2-y2=2,过点B
(1,1)能否作直线l,使得直线l与所给双曲线
交于点Q1,Q2,且B 是弦Q1Q2 的中点? 若存
在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
错解:设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是双曲
线上的两点,则x1≠x2,且x1+x2=2,y1+
y2=2,由
2x21-y21=2,
2x22-y22=2, 两式相减并变形得
y1-y2
x1-x2
=2,所以直线l存在,且直线l的方
程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0。
剖析:通过数形作图(图略),发现直线
2x-y-1=0与双曲线没有交点,利用“点差
法”解题不能保证方程有解,也就是说无法保
证Δ≥0,因此对求得的直线方程的存在性进
行验证是必不可少的。在解析几何中,凡是
直线与圆锥曲线的相交问题,先考虑相交的
前提,即先检验判别式Δ≥0是否成立,否则
易产生错解。凡是在联立方程消元后得到一
元二次方程时,都要注意讨论两个问题:一是
讨论二次项的系数是否为零;二是讨论判别
式Δ≥0是否成立。
正解:由错解知,可能存在的直线l的方程
为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,与双曲线
方程联立
2x-y-1=0,
2x2-y2=2, 消去y 整理得2x2-
4x+3=0,而Δ=-8<0,则方程无实根,即直
线与双曲线无交点,故不存在满足条件的直线。
易错点二、忽视“焦点弦”的条件,将“焦
点弦”与“非焦点弦”混淆致错
例 2 求顶点在原点,焦点在x 轴上,
且截直线2x-y+1=0所得弦长为 15的
抛物线的方程。
错解:设所求抛物线的方程为y2=ax(a
≠0)
①,直线方程变形为y=2x+1
②。
设直线与抛物线交于A,B 两点,将②代
入①化简整理得4x2+(4-a)x+1=0,因此
|AB|=x1+x2+p=
a-4
4 +
a
2= 15
,解得
a=
4(1+ 15)
3
,故所求抛物线的方程为y2
=
4(1+ 15)
3 x
。
剖析:题目中没有条件说直线 AB 过焦
点,只有焦点弦才有|AB|=x1+x2+p,因此
不能用此性质。那么非焦点弦的弦长问题一
般可以用弦长公式来求,所以在求抛物线的弦
长时,要先确认直线是否通过焦点,如果过焦
点就用焦点弦公式,否则只能用一般弦长公
式。(1)一般弦长公式:|AB|= 1+k2 ·
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解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2024年4月
|x1-x2|= 1+k2 · (x1+x2)2-4x1x2。
(2)焦点弦长:设AB 是抛物线y2=2px(p>
0)的 一 条 过 焦 点 F 的 弦,A (x1,y1),
B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=
x1+x2+p。
正解:前面同错解,得4x2+(4-a)x+1
=0,由 弦 长 公 式 可 知|AB|= 1+22 ·
a-4
4
2
-4×
1
4 = 15
,解 得 a=12或
a=-4,故所求抛物线的方程为y2=12x 或
y2=-4x。
易错点三、求定点或定值问题时忽视恒
成立的意义致错
例 3 已知椭圆C 的焦点为F1(- 2,
0),F2(2,0),且椭圆C 过点E(2,1)。
(1)求椭圆C 的方程。
(2)设 A 为椭圆C 的右顶点,直线l与
椭圆C 交于P,Q 两点,且P,Q 均不是椭圆
C 的左顶点和右顶点,M 为PQ 的中点。若
|AM|
|PQ|=
1
2
,试探究:直线l是否过定点? 若
过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请
说明理由。
错解:(1)设椭圆C 的长半轴长为a,短
半轴长为b,半焦距为c。
因为|EF1|= [2-(- 2)]2+12 =
3,|EF2|=1,所以|EF1|+|EF2|=4=2a,
即a=2。
因为c= 2,所以b2=a2-c2=2。
又椭圆C 的焦点在x 轴上,且中心为坐
标原点,所以椭圆C 的方程为
x2
4+
y2
2=1
。
(2)设直线PA:y=x-2,代入椭圆方程
得3x2-8x+4=0,解得x=
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