直线和圆的易错点归纳剖析-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■湖北省襄阳市第三中学 宋勇林 直线与圆的方程是解析几何的基础知 识,它不仅涉及几何知识,也涉及广泛的代数 知识,综合性较强,对同学们的能力要求较 高,在高考题中多以小题的形式呈现,考查也 较为全面,除考查直线与圆的位置关系、点到 直线的距离、圆与圆的位置关系等问题外,还 注重考查等价转化、数形结合、分类讨论等常 见的数学思想,近几年对直线和圆的考查方 式及题目难度变化不大,同学们由于对基本 概念、思想方法、性质的掌握不准确,导致平 时解题中经常出现错误,没有达到有效掌握 的目的。笔者在本文中主要从以下角度对直 线和圆的易错点进行剖析总结,供同学们复 习时参考。 一、设直线方程时忽略直线方程使用的 前提条件致错 例 1 若过点A(1,4)的直线在两坐标 轴上的截距之和为零,则该直线的方程为 ( )。 A.x-y+3=0 B.x+y-5=0 C.4x-y=0或x+y-5=0 D.4x-y=0或x-y+3=0 错解:设直线的方程为x a+ y -a=1 (a≠ 0),因为直线过点A(1,4),所以 1 a- 4 a=1 ,解 得a=-3,代入直线的方程得x-y+3=0。 剖析:截距式方程不能表示截距为0和 与坐标轴垂直的直线,过点A(1,4)且截距为 0的直线符合题意,上述解答没有考虑截距 为0的情况导致错误,设截距式方程时一定 要单独考虑过原点的情况! 正解:当直线过原点时,直线在两坐标轴 上的截距均为0,满足题意,此时直线的方程 为y=4x,即4x-y=0;当直线不过原点时, 如错解,可得直线的方程为x-y+3=0。综 上所述,直线的方程为4x-y=0或x-y+ 3=0。故选D。 点评:不同形式的方程均有其适用条件, 在解题时应注意截距式方程的使用前提是截 距不为0。 二、求含参数的直线的平行问题时忽视 验证直线重合的情况致错 例 2 已知直线l1:x+ay-a=0和 直线l2:ax-(2a-3)y+a-2=0,若l1∥l2, 求实数a的值。 错解:因为l1∥l2,所以a2=-2a+3,解 得a=-3或1。 剖析:A1B2-A2B1=0是直线平行的一 个必要不充分条件,所以应用此结论解题时 要注意验证充分性,上述错解中没有考虑这 一点导致出错。 正解:前面同错解,得a=-3或1。当a =-3时,l1:x-3y+3=0,l2:3x-9y+5= 0,满足l1∥l2;当a=1时,l1:x+y-1=0, l2:x+y-1=0,此时l1 与l2 重合,不合题 意,舍去。所以a=-3。 点评:一般地,设直线l1:A1x+B1y+C1 =0(A1,B1 不同时为0),l2:A2x+B2y+C2= 0(A2,B2 不 同 时 为0),则l1∥l2⇔A1B2- A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1 ≠0;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0。由平行条件求 参数的值时要验证两条直线是否重合。 三、利用数形结合思想化简方程时忽视 变量的范围致错 例 3 若方程 1-x2=k(x-1)+2 有两个不等实根,求k的取值范围。 错解:方程 1-x2=k(x-1)+2有两 72 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年4月 个不等实根,可转化为函数y= 1-x2的图 像和直线y=k(x-1)+2有2个交点。y= 1-x2可变形为x2+y2=1,即以原点为圆 心,1为半径的圆,直线y=k(x-1)+2的斜 率为k,且经过点 M(1,2),当直线和圆相切 时,由|2-k| 1+k2 =1,求得k= 3 4 ,由数形结合 可得k的范围为 34 ,+∞ 。 剖析:做数学题都是在进行一系列的等 价转化,直到解出答案。上述错解中式子y = 1-x2平方前后不等价,平方之前y 的 范围非负,故函数y= 1-x2的图像是以原 点为圆心,1为半径的圆的上半圆弧。 图1 正解:如图1,当直线和 半圆相切时,由|2-k| 1+k2 =1, 求得k= 3 4 ;当直线经过点 A(-1,0)时,则0=(-1- 1)k+2,求得k=1。综上可 得,k的取值范围为 34 ,1 。 四、求圆的一般方程时忽视圆存在的条 件致错 例 4 若过点(2,1)可以作圆x2+y2 -x+y+a=0的两条切线,则a 的取值范 围为( )。 A.12 ,+∞ B.(-4,+∞) C.-4, 1 2 D.(-∞,-4)∪ 12 ,+∞ 错解:由题意可知,点(2,1)在圆x2+y2 -x+y+a=0的外部,故22+12-2+1+a >0,得a>-4。故选B。 剖析:错解中只考虑了点 A 在圆的外 部,而忽视了方程x2+y2-x+y+a=0表 示圆的条件,需要求出r2,由r2>0得出a的 范围。 正解:由点(2,1)在圆x