内容正文:
■山东省济南市莱芜第一中学 夏雷鸣
圆锥曲线中的最值(或范围)问题,一直
是新高考数学命题中的一个重点题型,也是
考查数学基础知识与数学基本能力的一个重
要场景,具有较好的选拔性与区分度。基于
此,合理归纳总结,通过目标函数的建立、基
本不等式的利用、平面几何的直观等方法,可
以高效地解决圆锥曲线中的最值(或范围)问
题。
一、建立目标函数求最值(或范围)
建立目标函数求解圆锥曲线中的最值
(或范围)问题,关键在于把所要求解的最值
(或范围)的几何量或代数式加以合理化归与
转化,利用函数与方程思维,表示为某个(些)
变量的函数解析式,进而来确定相应的最值
(或范围)。解题的过程中往往离不开函数的
单调性、函数与导数的应用等。
例 1 (2023年四川省成都市高三
(上)第一次段考数学试卷)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,短轴长为4。
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若过点P(0,1)的直线交椭圆C 于
A,B 两点,求OA→·OB→ 的取值范围。
解析:(1)因为2b=4,所以b=2。又e=
c
a=
3
2
,a2=b2+c2,所以a2=4+
3
4a
2,解得
42
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年4月
a=4,c=23。
所以椭圆C 的方程为
x2
16+
y2
4=1
。
(2)当直线 AB 的斜率不存在时,直线
AB 的方程为x=0,不妨设 A(0,2),B(0,
-2),则OA→·OB→=-4。
当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB
的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2)。
联立
x2
16+
y2
4=1
,
y=kx+1, 消去y 整理得(4k2+
1)x2+8kx-12=0,Δ=64k2+48(4k2+1)
>0恒 成 立,x1+x2=-
8k
4k2+1
,x1x2=
-
12
4k2+1
。
所以OA→·OB→=x1x2+y1y2=x1x2+
(kx1+1)(kx2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+
x2)+1=(k2+1)-
12
4k2+1 - 8k
2
4k2+1
+1=
-16k2-11
4k2+1
=-4-
7
4k2+1
∈[-11,-4)。
综上所述,OA→·OB→∈[-11,-4],故
OA→·OB→ 的取值范围为[-11,-4]。
点评:利用目标函数思维解决圆锥曲线
中的最值(或范围)问题,是基于目标函数解
析式的构建与转化,从函数与方程思维视角
出发,利用函数的图像与性质来确定最值(或
范围),或通过函数与导数思维分析对应函数
的单调性来确定最值(或范围),要注意目标
函数解析式中参数取值范围的界定与判断。
二、利用基本不等式求最值(或范围)
构造基本不等式求解圆锥曲线中的最值
(或范围)问题,关键在于把所要求解的最值
(或范围)的几何量或代数式加以合理化归与
转化,表示为某个(些)变量的不等关系式,进
而借助基本不等式来分析与求解最值(或范
围)。解题的过程中往往离不开两项和或积
的形式的构建或等价转化。
例 2 (广东省六校(珠海一中等)2023
届高三第四次联考数学试卷)已知椭圆x
2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),A,B 分别为椭圆的左顶点
和下顶点,F 是椭圆的右焦点,且∠FAB=
π
6
,直线l与椭圆相切于点P(点P 在第一象
限),与y 轴相交于点Q(点Q 异于点P)。记
O 为坐标原点,若△OPQ 是等边三角形,且
△OPQ 的面积为
3
2
。
(1)求椭圆的方程;
(2)C、D 两点均在直线m:x=a 上,且
C 在第一象限。设直线AD、BC 分别交椭圆
于点S、T,若S、T 关于原点对称,求|CD|的
最小值。
解析:(1)由∠FAB=
π
6
,可知a= 3b,
则椭圆的方程为
x2
3b2
+y
2
b2
=1。
由等边△OPQ 的面积为
3
2
,可知其边长
为 2,所以直线l的方程为y=-
3
3x+ 2
。
联立
x2
3b2
+y
2
b2
=1,
y=-
3
3x+ 2
,
消 去 y 整 理 得
2x2-2 6x+6-3b2=0,则知判别式Δ=
(-26)2-8(6-3b2)=0,解得b2=1。
所以椭圆的方程为
x2
3+y
2=1。
(2)设C(3,m)(m>0),D(3,n)(n<
图1
0),如图1所示,则知直线
AD 的方程为y=
n
23
(x+
3)。
联立
y=
n
2