类型全展示，定值妙确定——基于圆锥曲线中的定值问题-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■江苏省常熟外国语学校 陆敏阳 涉及圆锥曲线中的定值问题,是近年来 高考卷、模拟卷及竞赛卷中的一个热点与难 点问题,变化多端,形式多样。此类问题可以 以运算求值的方式在选择题或填空题中出 现,也可以以运算求值、推理证明、存在性等 方式在解答题中出现,往往以解答题中的创 设为主,探究性强,创新新颖。此类问题通过 “动”“静”融合,巧妙创设场景,合理从“动”中 取“静”,以“动”致“静”,在“动”中找规律,在 “动”中取“定”,知识交汇性强,能力融合度 高,能很好地考查同学们的数学知识与数学 能力等,充分体现试题的选拔性与区分度,备 受命题者青睐。 一、基本要素的定值问题 这里的基本要素包括直线的倾斜角、斜 率,对应的参数值,相应角的大小,圆的半径 等单一涉及一些基本概念所对应的要素,类 型众多,形式多样。 例 1 (百师联盟2023届高三一轮复 习联考(五)数 学 试 卷)设 抛 物 线 C:y2= 2px(p>0)的焦点为F,过点F 作斜率为1 的直线交抛物线于A,B 两点,且AB=8,Q 为抛物线上一点,过Q 作两条均不垂直于对 称轴的直线分别交抛物线于除Q 之外的M, N 两点。 (1)求抛物线C 的方程。 (2)若点 Q 的坐标为 p2 ,p ,且kQM + kQN=0,试问:直线 MN 的斜率是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由。 解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题 意可知焦点F 的坐标为 p2 ,0 ,则直线 AB 的方程为y=x- p 2 。 联立 y=x- p 2 , y2=2px, 消 去 y 整 理 得x2- 3px+ 1 4p 2=0,由根与系数的关系知x1+x2 =3p,x1x2= 1 4p 2。 由抛物线的定义得 AB=AF+BF= x1+x2+p=4p=8,解得p=2。 所以抛物线C 的方程为y2=4x。 (2)由(1)知点Q 的坐标为(1,2)。 设 M y 2 3 4 ,y3 ,N y 2 4 4 ,y4 ,由kQM+kQN =0,即kQM=-kQN,即 2-y3 1- y23 4 =- 2-y4 1- y24 4 ,整 理得y3+y4=-4。 所以 直 线 MN 的 斜 率 为 y4-y3 y24 4- y23 4 = 4 y3+y4 =-1,是定值。 点评:根据题设条件确定已知点的坐标, 而对于动点的坐标确定问题,结合直线的斜 率公式,抓住直线与抛物线的位置关系、点的 坐标及直线的斜率公式等相关知识加以直接 分析与处理,这是解决此类问题最为常见的 基本思维。有时还可以借助点差法或坐标法 等,从不同视角切入,由于切入的视角不同, 使得解题的过程长短不一。 二、距离的定值问题 这里的距离涉及两点间的距离(即线段 的长度)、点到直线的距离,以及与距离相关 的形式(如距离的乘积或比值、距离的平方和 等),结合题设条件并利用对应的距离公式得 到相应的表达式,再利用题设条件进行化简、 变形,即可解决问题。 例 2 (2024年江苏省南京市高考数 学模 拟(二))已 知 动 点 M (x,y)到 定 点 F(3,0)的距离与到定直线l:x=23的距 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年4月 离之比是常数 2 2 ,记动点 M 的轨迹为 曲 线C。 (1)求曲线C 的方程。 (2)设P(m,n)是曲线C 上的一个动点, 由原点O 向圆(x-m)2+(y-n)2=2引两 条切线,分别交曲线 C 于点A,B,若直线 OA,OB 的斜率均存在,并分别记为k1,k2, 试问:|OA|2+|OB|2 是否为定值? 若是,求 出该值;若不是,请说明理由。 解析:(1)因 为 动 点 M (x,y)到 定 点 F(3,0)的距离|MF|= (x-23)2+y2, 到定直线l:x=23的距离d=|x-23|, 所以 |MF| d = (x-23)2+y2 |x-23| = 2 2 ,即2(x - 3)2+2y2=(x-23)2,化简得 x2 6+ y2 3= 1,故曲线C 的方程为 x2 6+ y2 3=1 。 (2)由题意知,直线OA,OB 的方程分别 为y=k1x,y=k2x。 设A(x1,y1),B(x2,y2)。 由直线OA 与圆(x-m)2+(y-n)2=2 相切,可得|k1m-n| 1+k21 = 2,整理得(m2-2)· k21-2mnk1+n2-2=0。 同理得(m2-2)k22-2mnk2+n2-2=0。 所以k1,k2 是方程(m2-2)k2-2mnk+ n2-2=0的两个根,且m2-2≠0。 所以k1+k2= 2mn m2-2 ,k1k2= n2-2 m2-2 。 因为P(m,n)是曲线C 上的一个动点