数学思想视角下的解析几何问题-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■内蒙古呼和浩特市第二中学 娜布琪 由于解析几何侧重于形象思维、推理运算 和数形结合,综合了代数、三角、几何、向量等基 础知识,所涉及的数学知识点较多,对解题能力 的考查层次要求较高,所以是数学思想与应用 的一个重要场所。基于“多考一点思维,少考一 点运算”的命题理念,近几年大多数课标卷在解 析几何解答题中加大了数学思想与数学思维能 力的考查,减少了对复杂数学运算的考查。 一、函数思想 解析几何中有不少问题,其中的某些点、线 在运动变化过程中相互制约,如弦长、周长、面 积等的最大值或最小值,相互之间可以合理构 建函数关系,进而利用函数思想方法进行处理。 例 1 (2024届安徽省高三上学期摸底 大联考数学试题)已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b >0)经过点A1, 3 2 ,且椭圆的长轴长为4。 (1)求椭圆C 的标准方程; (2)设经过点B(-1,0)的直线l与椭圆 C 相交于D,E 两点,点E 关于x 轴的对称点 为F,直线DF 与x 轴相交于点G,求△DEG 的面积S 的取值范围。 解析:(1)因为椭圆C 的长轴长为2a= 4,所以a=2。 将点 A 的坐标代入椭圆C 的方程得 1 4+ 3 2 2 b2 =1,解得b=1。 所以椭圆C 的标准方程为 x2 4+y 2=1。 (2)当直线l与x 轴重合时,则△DEG 不存在,不符合题意。 当直线l与x 轴不重合时,可设直线l 的方程为x=my-1,D(x1,y1),E(x2,y2)。 若m=0,则点F 与点D 重合,不符合题 意,所以m≠0。 联立 x=my-1, x2 4+y 2=1, 消去x 整理得(m2+ 4)y2-2my-3=0,Δ=4m2+12(m2+4)= 16(m2+3)>0,由韦达定理得 y1+y2= 2m m2+4 ,y1y2=- 3 m2+4 。 因为 F 与 E 关 于x 轴 对 称,所 以 点 F(x2,- y2 ),所 以 kDF = y1+y2 x1-x2 = y1+y2 m(y1-y2) ,直 线 DF 的 方 程 为y-y1= y1+y2 m(y1-y2) (x-x1)。 将y=0代入直线 DF 的方程得x= x1-y1 · m(y1-y2) y1+y2 =my1 -1-y1 · m(y1-y2) y1+y2 = 2my1y2 y1+y2 -1=-4,即G(-4,0)。 因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= 4 m2+3 m2+4 ,所以S△DEG= 1 2|BG| ·|y1-y2| = 1 2×| (-1)-(-4)|× 4 m2+3 m2+4 = 6 m2+3 m2+4 = 6 m2+3+ 1 m2+3 。 令t= m2+3> 3,则函数y=t+ 1 t 在(3,+∞)上为增函数,所以y=t+ 1 t> 43 3 ,所以S△DEG= 6 t+ 1 t ∈ 0, 33 2 。 故 △DEG 的 面 积 S 的 取 值 范 围 为 0, 33 2 。 点评:利用函数思想解决解析几何的综 合问题时,常用的方法有:(1)转化为二次函 数问题,求解二次函数的值域;(2)转化为一 元二次方程问题,利用判别式法处理;(3)利 用均值不等式加以合理放缩;(4)利用函数的 单调性、有界性等来处理;(5)结合关系式的 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年4月 几何意义,通过几何法来处理。 二、方程思想 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题 时,最常用的方法是将直线方程与圆锥曲线 方程联立,消去其中一个变量转化为关于x 或y 的一元二次方程,通过设置直线与圆锥 曲线的交点坐标,利用韦达定理表示出x1+ x2,x1x2,或y1+y2,y1y2 的值,进一步结合 问题场景来分析与应用。 例 2 (2024届安徽省江淮十校高三 第一次联考数学试题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线C 的中心为坐标原点, 对称轴是坐标轴,右支与x 轴的交点为(1, 0),其中一条渐近线的倾斜角为 π 3 。 (1)求双曲线C 的标准方程; (2)过点T(2,0)作直线l与双曲线C 的 左右两支分别交于A,B 两点,在线段AB 上 取一点E,满足|AE|·|TB|=|EB|· |AT|,证明:点E 在一条定直线上。 解析:(1)根据题意,设双曲线的方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1。由题意知a=1, b a=tan π 3= 3,可得b= 3,所以双曲线C 的标准方程 为x2-y 2 3=1 。 (2)易知T(2,0)为双曲线的右焦点,如 图1 图1所示,由题知直线l的斜 率存在,不妨设斜率为k(0≤ k≤ 3),故直线l的方程为y =k(x-2),代入双曲线C 的 方程