第一章 集合与常用逻辑用语复习讲义11大题型（高效培优讲义）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学复习讲义以集合与常用逻辑用语为核心，通过知识框架图系统梳理元素特性、表示方法、集合关系及运算等基础知识点，结合韦恩图直观呈现子集、交并补的逻辑联系，用对比表格突出确定性、互异性等重难点，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，涵盖元素关系、参数求解等11类题型，典例结合变式题如“根据集合包含关系求参数范围”，引导学生用数学思维分析问题，新定义题如“超级好集”探究培养创新意识。配套基础题与综合题，帮助不同层次学生巩固知识，教师可据此实施精准复习教学。

第一章 集合与常用逻辑用语复习讲义 教学目标 1.通过实例了解集合的含义,集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题。 2.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。 3. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念。 4.理解两个集合的并集与交集的含义，补集的含义，会求简单集合的交、并运算，会求给定子集的补集。 5.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 6.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 教学重难点 1. 重点 （1）由实际问题抽象集合的概念，理解集合间的关系与运算; （2）通过集合间的关系，探究充分条件与必要条件; （3）理解全称量词和存在量词的意义; （4）理解全称量词和存在量词的否定 2. 难点 （1）抽象研究对象--集合; （2）根据集合间关系，利用集合的运算对参数进行求解; （3）对充分条件和必要条件关系的理解。 知识点01 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点02集合的表示方法 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 知识点03 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点04 真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点06 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点07 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点08 全称量词命题和存在量词命题的否定 1、全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2、存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 知识点09 充分条件、必要条件 与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 题型 01: 元素与集合的关系 【典例1】（2026·高一·宁夏中卫·阶段检测）若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得集合, ，，，空集是任何集合的子集. 故选： 【变式1-1】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知集合，下列元素属于M的是（    ） A．0 B．3 C．4 D． 【答案】B 【解析】， ，，，． 故选：B. 【变式1-2】（2026·高一·安徽池州·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，所以， 显然选项中D符合题意，此时，A、B、C错误. 故选：D 【变式1-3】（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 题型 02: 集合元素的三个特性 【典例2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由题意得集合，故集合的元素个数为5. 【变式2-1】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解析】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式2-2】（2026·高一·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 【变式2-3】（2026·高一·四川南充·阶段检测）集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（    ） A．x≠–1 B．x≠0 C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3 【答案】C 【解析】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3， 解得x≠3且x≠–1且x≠0， 故选：C． 题型 03: 集合表示方法综合 【典例3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【解析】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 【变式3-1】（2026·高一·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解析】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 【变式3-2】（2026·高一·江西·阶段检测）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 【变式3-3】已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 题型 04: 子集 (真子集) 个数 【典例4】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解析】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式4-1】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】，即，等价于且，得， 故； ，得，故， 故，其子集个数为. 故选：C 【变式4-2】（2026·云南·模拟预测）若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】不等式，可得.又，故，其子集的个数为个. 故选:B 【变式4-3】（2026·高一·江苏南通·期中）设全集是小于7的自然数，，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】C 【解析】依题意，，而，所以. 真子集数为. 故选：C 题型 05: 根据包含关系求参数 【典例5】已知集合，，若，则a的取值范围是______ 【答案】 【解析】由题意，得， 对于集合A，①当时，． 因为，所以．又，所以． ②当时，． 因为，所以，又，所以， 综上所述，，或． 【变式5-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）集合集合且，则实数的取值范围__________． 【答案】 【解析】， ，，解得， 时，即方程的根为正数，设为， ，解得， 综上，， 故答案为：． 【变式5-2】（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）已知，若，则的取值范围为______. 【答案】或 【解析】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 【变式5-3】已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 题型 06: 交并补运算 【典例6】若集合，或，则________， ____________. 【答案】 R 或或 【解析】借助数轴如图1， 所以， 如图2，所以或， 或或． 【变式6-1】（2026·高一·天津·阶段检测）设全集，集合，，则_______ 【答案】/ 【解析】因为集合，，故， 又因为全集，所以. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高一·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 【答案】 【解析】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：. 【变式6-3】设全集为，则______，______． 【答案】 【解析】把集合在数轴上表示如图． 由图知，，所以． 因为，所以． 故答案为：①，②. 题型 07: 根据交并补运算结果求参数 【典例7】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【变式7-1】已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高一·天津·期中）已知集合，，则集合中的所有整数是_____；若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 、、 或 【解析】因为，故集合中的所有整数有、、， 由题意可得或， 因为，， 当时，，解得，合乎题意； 当时，，解得， 因为，所以，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. 故答案为：、、；或. 【变式7-3】（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【解析】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 题型 08: 充分必要性判断 【典例8】已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【解析】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 【变式8-1】设，则“且”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． 【变式8-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）“”是“”的____条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）． 【答案】充分不必要 【解析】由，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【变式8-3】（2026·高一·上海·期中）命题“”是命题“”的___________条件． 【答案】必要不充分 【解析】当时，，所以命题“”是命题“”的不充分条件； 若，则，两边同时乘以得， 所以命题“”是命题“”的必要条件； 综上，命题“”是命题“”的必要不充分条件； 故答案为：必要不充分 题型 09: 根据充分必要性求参数 【典例9】设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 【变式9-1】（2026·高一·重庆开州·阶段检测）设全集，集合或，集合或. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，或， 所以或， 因为，所以 （2）因为命题，命题，若是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 当集合时，，即，此时满足题意， 当集合时，即， 则，解得，所以， 经检验， 时，满足题意， 所以实数的取值范围为. 【变式9-2】（2026·高一·湖南湘潭·阶段检测）设， (1)若，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； 【解析】（1）， 因为，所以，解得 所以实数的取值范围为. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集. 因为所以，则，解得； 综上，实数的取值范围是． 【变式9-3】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，，解得； 当时，或， 解得， 综上，实数m的取值范围. 题型 10: 根据全称与存在量词命题真假求参数 【典例10】设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 【变式10-1】（2026·高一·四川宜宾·期中）已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【解析】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解， 则，解得， 故集合； （2）由条件可知， ①当时，，解得，满足； ②当，则需使，解得. 由①②可知，实数的取值范围为. 【变式10-2】（2026·高一·江西抚州·阶段检测）已知命题，都有，命题，使得． (1)若p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q均为真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由命题，都有，得当时，恒成立，因此符合题意； 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由命题，使得，得，成立， 而当时，，当且仅当取等号，因此； 由（1）知，则p，q均为真命题时，， 所以实数a的取值范围是. 【变式10-3】（2026·高一·广西贵港·阶段检测）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 题型 11: 新定义题 【典例11】定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有．已知全集，集合，． (1)求全集U和集合A． (2)集合A，B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 【解析】（1）全集中， 由中条件，得. 只能有下面三种情况： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时． 所以． 集合中， 由中条件，得. 只能，，此时，所以． （2）因为，要使，则集合的元素不能为0或1，即0和1都不是方程的根. 当时，代入方程得；当时，代入方程得，解得. 因此，要满足条件，需且. 【变式11-1】（2026·高一·北京顺义·期末）给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． (1)当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） (2)当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） (3)当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 【解析】（1）集合具有性质，理由如下： 因为，则任取两个元素有： ①，此时，且只有一个2， ②，此时，且只有一个2， ③，此时，且只有一个2， 综上所述集合具有性质. （2）集合，理由如下： 任取两个元素有： ①，此时， 且只有一个2， ②，此时， 且只有一个2， ③，此时， 且只有一个2， 综上所述集合具有性质，故集合可以是. （3）集合不具有性质，理由如下： 设， ， 因为任取集合中的两个元素， 有， 设和为，则， ①当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和大于，不合题意； ②当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和小于5，不合题意； ③当时， 集合， 任取其中两个元素，这5个和均不大于1，故不满足题意， ④当时，集合， 任取其中两个元素,这5个和中至少有3个2， 故不满足题意， ⑤当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现1次， 故余下3个元素中必定存在两个元素，使得均为1，, 不满足题意，故时不存在具有性质. ⑥当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现2次， 故余下3个元素中,均会出现两个2， 不满足题意，故时不存在具有性质. 综上，集合不具有性质. 【变式11-2】（2026·高一·宁夏石嘴山·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【解析】（1），当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 【变式11-3】（2026·高一·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【解析】（1） 对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 1．（2026·高一·云南昆明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 所以. 2．（2026·高一·云南文山·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 4．（2026·高一·云南红河·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，解得， 因是的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件． 5．（2026·高二·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 6．（2026·高一·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 7．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得， 所以． 8．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 对于C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 1．（2026·高二·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 2．（2026·高三·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 3．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以的真子集的个数为． 5．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，， 所以． 6．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 7．（多选题）（2026·高一·江苏连云港·期中）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 【答案】ACD 【解析】对于A: 由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的必要不充分条件； 对于B，由，，可得， 取，满足，此时， 故p是q的充分不必要条件， 对于C，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个不同实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：ACD 8．（多选题）（2026·高一·陕西宝鸡·期中）非空集合W关于运算满足：对于任意的，都有，则称集合W关于运算为“回归集”．下列集合W关于运算为“回归集”的是（   ） A．W为，为自然数的减法 B．W为，为有理数的乘法 C．W为，为实数的加法 D．已知全集，集合，W为，为的乘法 【答案】BC 【解析】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件； 对于B选项，若，对任意的，则，B满足条件； 对于C选项，若，对任意的，则，C满足条件； 对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件． 故选：BC． 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，不是的元素，，故A错误； 对于B，集合表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集， 集合表示为整数的数组成的集合，则， 即，也是偶数集，所以两个集合相等，故B正确； 对于C，集合，而集合，不是同一集合，故C错误． 对于D，由，由可知，所以， 则，所以，解得或， 由集合元素的互异性可知，所以.故D正确． 故选：BD 10．（2026·高一·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 【答案】 60 40 【解析】当选了B菜品的顾客也选了A菜品时，两种菜品都选了的顾客最多，最多有60名， 当这100名顾客至少选了两种菜品中的一种时，两种菜品都选了的顾客最少， 最少有名． 故答案为：60；40． 11．（2026·高一·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【解析】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 12．（2026·高一·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则_____. 【答案】 【解析】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 13．（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 14．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知集合或. (1)当时，求： (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题知或， 所以； （2）由题知， 若对任意的恒成立，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，即实数的取值范围是 15．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知集合，， (1)求和； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）集合，，， ，． （2），，， 当时，，解得，成立； 当时，由，得：，解得． 综上，的取值范围是． 16．（2026·高一·贵州安顺·期末）设集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1），当时，， 故. （2）若，则. 若，则，解得； 若，则，解得. 综上所述，的取值范围为或. 17．（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 【解析】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以． 又因为集合，，所以． 即的取值范围为． 18．（2026·高一·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语复习讲义 教学目标 1.通过实例了解集合的含义,集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题。 2.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。 3. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念。 4.理解两个集合的并集与交集的含义，补集的含义，会求简单集合的交、并运算，会求给定子集的补集。 5.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 6.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 教学重难点 1. 重点 （1）由实际问题抽象集合的概念，理解集合间的关系与运算; （2）通过集合间的关系，探究充分条件与必要条件; （3）理解全称量词和存在量词的意义; （4）理解全称量词和存在量词的否定 2. 难点 （1）抽象研究对象--集合; （2）根据集合间关系，利用集合的运算对参数进行求解; （3）对充分条件和必要条件关系的理解。 知识点01 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点02集合的表示方法 1常用数集及其符号 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 知识点03 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点04 真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点06 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 知识点07 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点08 全称量词命题和存在量词命题的否定 1、全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2、存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 知识点09 充分条件、必要条件 与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 题型 01: 元素与集合的关系 【典例1】（2026·高一·宁夏中卫·阶段检测）若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知集合，下列元素属于M的是（    ） A．0 B．3 C．4 D． 【变式1-2】（2026·高一·安徽池州·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 题型 02: 集合元素的三个特性 【典例2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-1】（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式2-2】（2026·高一·四川·阶段检测）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【变式2-3】（2026·高一·四川南充·阶段检测）集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（    ） A．x≠–1 B．x≠0 C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3 题型 03: 集合表示方法综合 【典例3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【变式3-1】（2026·高一·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【变式3-2】（2026·高一·江西·阶段检测）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 题型 04: 子集 (真子集) 个数 【典例4】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式4-1】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式4-2】（2026·云南·模拟预测）若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式4-3】（2026·高一·江苏南通·期中）设全集是小于7的自然数，，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．7 C．15 D．31 题型 05: 根据包含关系求参数 【典例5】已知集合，，若，则a的取值范围是______ 【变式5-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）集合集合且，则实数的取值范围__________． 【变式5-2】（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）已知，若，则的取值范围为______. 【变式5-3】已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 题型 06: 交并补运算 【典例6】若集合，或，则________， ____________. 【变式6-1】（2026·高一·天津·阶段检测）设全集，集合，，则_______ 【变式6-2】（2026·高一·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =_____________ 【变式6-3】设全集为，则______，______． 题型 07: 根据交并补运算结果求参数 【典例7】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【变式7-1】已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【变式7-2】（2026·高一·天津·期中）已知集合，，则集合中的所有整数是_____；若，则实数的取值范围是_____. 【变式7-3】（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 题型 08: 充分必要性判断 【典例8】已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【变式8-1】设，则“且”是“”的________条件． 【变式8-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）“”是“”的____条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）． 【变式8-3】（2026·高一·上海·期中）命题“”是命题“”的___________条件． 题型 09: 根据充分必要性求参数 【典例9】设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【变式9-1】（2026·高一·重庆开州·阶段检测）设全集，集合或，集合或. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式9-2】（2026·高一·湖南湘潭·阶段检测）设， (1)若，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； 【变式9-3】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 题型 10: 根据全称与存在量词命题真假求参数 【典例10】设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【变式10-1】（2026·高一·四川宜宾·期中）已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【变式10-2】（2026·高一·江西抚州·阶段检测）已知命题，都有，命题，使得． (1)若p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q均为真命题，求实数a的取值范围． 【变式10-3】（2026·高一·广西贵港·阶段检测）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 题型 11: 新定义题 【典例11】定义两种新运算“⊕”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有．已知全集，集合，． (1)求全集U和集合A． (2)集合A，B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 【变式11-1】（2026·高一·北京顺义·期末）给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． (1)当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） (2)当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） (3)当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 【变式11-2】（2026·高一·宁夏石嘴山·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【变式11-3】（2026·高一·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 1．（2026·高一·云南昆明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·云南文山·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·高一·云南红河·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高二·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·高一·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 1．（2026·高二·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 5．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·江苏连云港·期中）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 8．（多选题）（2026·高一·陕西宝鸡·期中）非空集合W关于运算满足：对于任意的，都有，则称集合W关于运算为“回归集”．下列集合W关于运算为“回归集”的是（   ） A．W为，为自然数的减法 B．W为，为有理数的乘法 C．W为，为实数的加法 D．已知全集，集合，W为，为的乘法 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．若，则 10．（2026·高一·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 11．（2026·高一·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 12．（2026·高一·广西钦州·期中）定义集合运算：.若集合，，则_____. 13．（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 14．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知集合或. (1)当时，求： (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 15．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知集合，， (1)求和； (2)若，求的取值范围． 16．（2026·高一·贵州安顺·期末）设集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 17．（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 18．（2026·高一·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $