直接切入，转化应用，递推证明——圆锥曲线中的证明问题-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■陕西省渭南市富平县教师发展中心 吕会荣 涉及圆锥曲线中的证明问题,也是新高 考命题中比较常见的一种基本题型。借助证 明问题的创设,通过位置关系的确定、数量关 系的构建等,使得解题目标更加明确。虽然 试题难度有所下降,但是可以更加合理全面 地考查同学们的逻辑推理与数学运算等核心 素养,以及化归与转化、推理与证明等方面的 能力,备受命题人的青睐。而对于圆锥曲线 中的证明问题,往往可以利用直接法直接证 明;也可以利用转化法间接证明;还可以先确 定结论,再利用递推法进行证明。这些都是 解决圆锥曲线中的证明问题的基本技巧与方 法。 一、利用直接法证明 涉及圆锥曲线中的证明问题,最为常用 的技巧方法就是直接法证明,特别是涉及数 量关系等相关综合问题,以定值或定量问题 为主。一般是根据已知条件,运用所涉及的 知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等, 直接推导出所证明的结论即可。在证明相关 不等式问题时,常借助不等式的性质或基本 不等式进行证明。 例 1 (2023年河南省名校联盟高三 (上)联考数学试卷)已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1 (a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),上顶点和 下顶点分别为A,B,∠AF1B=90°。 (1)求椭圆C 的标准方程; (2)若椭圆上有三点P,Q,M 且满足关 系式OM→=OP→+OQ→,证明:四边形 OPMQ 的面积为定值。 解析:(1)依题意,可得c=1。 又因为∠AF1B=90°,所以b=c=1,则 a= b2+c2= 2。 所以椭圆C 的标准方程为 x2 2+y 2=1。 (2)设 M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2)。 因 为 OM→ =OP→ +OQ→,所 以 四 边 形 OPMQ 为平行四边形,且 x=x1+x2, y=y1+y2。 所 以 (x1+x2)2 2 + (y1+y2)2=1,即 x21 2+ y21 + x 2 2 2+ y22 +x1x2+2y1y2=1。 又因为 x21 2+ y21=1, x22 2+ y22=1,所以 x1x2+2y1y2=-1。 若直线PQ 的斜率不存在,M 与左顶点 或右顶点重合,则|x1|=|x2|= 2 2 ,所以 |y1|=|y2|= 3 2 ,所以S四边形OPMQ= 1 2×2|x1|× 2|y1|= 6 2 。 若直线PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的 方程为y=kx+t。 联立 y=kx+t, x2 2+y 2=1, 消去y 并整理得(1+ 2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,所以Δ=16k2t2 -4(1+2k2)(2t2-2)>0,可得t2<1+2k2, 且x1+x2=- 4kt 1+2k2 ,x1x2= 2t2-2 1+2k2 。 所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2 +kt(x1+x2)+t2=k2· 2t2-2 1+2k2 +kt· - 4kt 1+2k2 +t2=t 2-2k2 1+2k2 。 因为x1x2+2y1y2=-1,所以 2t2-2 1+2k2 + 2· t2-2k2 1+2k2 =-1,整理得4t2=1+2k2,符合 Δ>0。 51 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年4月 由弦 长 公 式 可 得|PQ|= k2+1· |x1-x2|= k2+1· (x1+x2)2-4x1x2 = k2+1· 8(1+2k2-t2) 1+2k2 。 又因为原点 O 到直线PQ 的距离d= |t| k2+1 ,所 以 S△POQ = 1 2|PQ| ·d = 1 2 k 2+1· 8(1+2k2-t2) 1+2k2 · |t| k2+1 = 2· 1+2k2-t2 1+2k2 ·|t|= 2· 4t2-t2 4t2 · |t|= 2· 3 4= 6 4 。 所以S四边形OPMQ=2S△POQ= 6 2 。 综上可得,四边形OPMQ 的面积为定值 6 2 。 点评:当圆锥曲线综合问题的证明中涉 及有关数量关系或代数问题时,经常采用直 接法加以分析与证明。特别在证明圆锥曲线 中的数量关系等相关问题时,需综合直线与 圆锥曲线的位置关系,以及函数与方程思维 的应用,合理构建数量之间的关系,进而通过 数学运算与逻辑推理来分析与证明。 二、利用转化法证明 涉及圆锥曲线中的图形的几何特征或性 质等证明问题时,转化法也是比较常用的一 种技巧方法。利用转化法证明圆锥曲线问题 的三种策略:(1)用斜率相等证明三点共线或 直线平行。(2)用斜率之积为-1证明直线 垂直。(3)用倾斜角互补,斜率之和为0证明 两角相等。 例 2 (2023年安徽省江淮十校高三 (上)第一次联考数学试卷)已知双曲线C: x2 a2 -y 2